Suite et équivalence

[Jean37]

Salut,j'ai fais cet exercice et j'aurai voulu connaitre ton avis sur ce que j'ai fais.
Voici donc cet exo:
On considère la suite réelle U définie par : Un =
$\frac{cosn+n^2sin(\frac{1}{n+1})}{\sqrt{4n^2+1}}$∀ n ∈ .
1°/ (a) Montrer que : $\sqrt{4n^2 + 1}$∼ $2n$ quand n->+∞

(b)
Montrer que : $sin(\frac{1}{n+1})$ ~$\frac{1}{n}$ quand n->+∞

(c) Calculer :
n→+∞
lim $\frac{cosn}{n}$.

2°/ Déduire de 1°/ que : $[n^2sin(\frac{1}{n+1})+ cosn]$~n quand n→+∞.


3°/ Calculer
n→+∞
lim Un

Et si je ne me trompe pas,en 1),$\sqrt{4n^2 + 1}$∼$\sqrt{4n^2}$∼$2n$.

Puis pour le (b),$sin(\frac{1}{n+1})$ ~$sin(\frac{1}{n})$~$\frac{1}{n}$.

Ensuite,pour le (c),Je dirais que $cos(n)$ tend vers 1 donc lim $\frac{cosn}{n}$= lim 1/l'infini=0.
Puis,pour le 2), $n^2sin(\frac{1}{n+1})$~$n^2 \frac{1}{n}$~mais ça veut dire que cos(n)~0,or dans mon cours,cos(Un)~1-(Un²)/2.
Enfin pour le 3) cela implique que lim Un=lim n/2n=1/2.
Mais ais-je bien rédigé?

[Job]

Bonjour

1. Pour (a) et (b) d'accord.
Pour (c), il est faux de dire que $\cos n$ tend vers 1 à l'infini, la fonction $\cos$ n'a pas de limite à l'infini puisqu'elle oscille tout le temps de -1 à +1.
Ce qu'il faut faire : $\forall n \in {\mathbb N}^*,\ -1\leq \cos n \leq 1$ donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$
$\lim_{n\to \infty} -\frac{1}{n} =\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0$ donc, par encadrement, $\lim_{n\to +\infty} \frac{\cos n}{n}=0$

2. Remarque : pour appliquer la formule du cours, il faudrait savoir que $\lim U_n =0$ ce qui est faux.
Pour la fin de la démonstration : d'accord avec $n^2\sin (\frac{1}{n+1})\sim n^2\frac{1}{n} =n$
$\frac{n^2\sin (\frac{1}{n+1})+\cos n}{n}\sim \frac{n+\cos n}{n}=1+\frac{\cos n}{n}$
$\lim_{n\to \infty} (1+\frac{\cos n}{n}) =1$ donc $n^2\sin (\frac{1}{n+1})+\cos n\sim n$

3. D'accord

[Jean37]

Bonjour

1. Pour (a) et (b) d'accord.
Pour (c), il est faux de dire que $\cos n$ tend vers 1 à l'infini, la fonction $\cos$ n'a pas de limite à l'infini puisqu'elle oscille tout le temps de -1 à +1.
Ce qu'il faut faire : $\forall n \in {\mathbb N}^*,\ -1\leq \cos n \leq 1$ donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$
$\lim_{n\to \infty} -\frac{1}{n} =\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0$ donc, par encadrement, $\lim_{n\to +\infty} \frac{\cos n}{n}=0$

2. Remarque : pour appliquer la formule du cours, il faudrait savoir que $\lim U_n =0$ ce qui est faux.
Pour la fin de la démonstration : d'accord avec $n^2\sin (\frac{1}{n+1})\sim n^2\frac{1}{n} =n$
$\frac{n^2\sin (\frac{1}{n+1})+\cos n}{n}\sim \frac{n+\cos n}{n}=1+\frac{\cos n}{n}$
$\lim_{n\to \infty} (1+\frac{\cos n}{n}) =1$ donc $n^2\sin (\frac{1}{n+1})+\cos n\sim n$

3. D'accord

Merci Job,effectivement cosn est compris entre - et 1,j'avais pas penser au théorème des gendarmes!