Bonjour ,j'ai essayé de faire cet exercice:
On considère les suites a et b définies par :
$a_0$ > 0 , $b_0$ ≥$a_0$ , $a_{n+1}$ = $\sqrt{a_n b_n}$ et $b_{n+1}$ =$\frac{an + bn}{2}$.
, ∀n ∈ .
1°) Montrer que la suite a est croissante et que la suite b est décroissante.
2°) En déduire que a et b sont convergentes.
3°)Montrer que lim $a_n$ = lim $b_n$ quand n tend vers +l'infini.
Et on m'a dit que pour la question 1°),il faut montrer par récurrence que:
$a_0 \le a_n \le a_{n + 1} \le b_{n + 1} \le b_n \le b_0$ avec l'hypothèses $a_0 \le a_n \le b_n \le b_0$
Donc c'est ce que j'ai essayé de faire en suivant la démarche habituelle:
a)L'initialisation
On suppose que tout ce que j'ai écris est vrai au rang n.
b) Montrons que c'est vrai au rang n+1(l'hérédité):
$a_1 \le a_{n+1} \le a_{n + 2} \le b_{n +2} \le b_{n+1} \le b_1$ et $a_1 \le a_{n+1} \le b_{n+1}\le b_1$
c) En conclusion la suite $a_n$ est croissante et la suite $b_n$ est décroissante.
2)La suite b est convergente puisqu'elle semble convergé vers 0,la suite a je ne vois pas.
3)Les suites sont adjacentes(d'ailleurs si on pose la question c'est parce qu'elles le sont) donc elles ont la même limite.
Mais pourrais-tu m'expliquer ce qui ne vas pas dans mon raisonnement s'il te plaît,merci.
Suite adjacentes
Re: Suite adjacentes
Bonjour
1°) Tu ne démontres rien, tu énonces ce que tu voudrais mais il n'y a pas de démonstration.
a) On montre d'abord par récurrence que les suites sont strictement positives.
Initialisation : $a_0>0$ par hypothèse et $b_0\geq a_0 \Longrightarrow b_0>0$
Hérédité : On suppose vérifié $a_n>0$ et $b_n>0$
Alors $a_nb_n>0$ donc $a_{n+1}$ est défini et $a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}>0$
$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}>0$
b) On démontre par récurrence que $a_n\leq b_n$
Initialisation : par hypothèse $a_0\leq b_0$
Hérédité : On suppose vérifié, au rang $n$, $a_n\leq b_n$
$b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{a_n+b_n-2\sqrt{a_nb_n}}{2}=\frac{(\sqrt a_n-\sqrt b_n)^2}{2}\geq 0$
Donc $b_{n+1}-a_{n+1}\geq 0$ soit $a_{n+1}\leq b_{n+1}$. L'inégalité est donc vérifiée au rang $n+1$.
Conclusion : $\forall n \in {\mathbb N},\ a_n\leq b_n$
c) En utilisant l'inégalité précédente $a_{n+1}^2=a_nb_n\geq a_n^2$. Comme il s'agit de nombres positifs, $a_{n+1}\geq a_n$
La suite $a$ est donc croissante.
d) $b_{n+1}-b_n=\frac{a_n+b_n}{2} -b_n =\frac{a_n+b_n-2b_n}{2} =\frac{a_n-b_n}{2}\leq 0$ donc $b_{n+1}\leq b_n$. La suite $b$ est donc décroissante.
2°) De la question 1°, on déduit : $0<a_0\leq a_n \leq b_n\leq b_0$
La suite $a$ croissante est majorée par $b_0$ donc elle converge.
La suite $b$ décroissante est minorée par $a_0$ donc elle converge.
3°) Soit $L$ la limite de la suite $a$ et $L'$ la limite de la suite $b$.
En utilisant l'égalité : $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$, $\lim a_{n+1}=L$ et $\lim \frac{a_n+b_n}{2}=\frac{L+L'}{2}$. On en déduit : $L=\frac{L+L'}{2}$ soit $2L=L+L'$ donc $L=L'$
Remarque Tu ne peux pas affirmer, en sachant seulement qu'une suite est croissante et l'autre décroissante et qu'elles convergent, que les suites sont adjacentes car il y a une condition supplémentaire qui n'a pas été démontrée : $\lim (b_n-a_n)=0$
Ce résultat découle de la troisième question donc les suites sont bien adjacentes mais on ne peut pas prendre le problème à l'envers.
1°) Tu ne démontres rien, tu énonces ce que tu voudrais mais il n'y a pas de démonstration.
a) On montre d'abord par récurrence que les suites sont strictement positives.
Initialisation : $a_0>0$ par hypothèse et $b_0\geq a_0 \Longrightarrow b_0>0$
Hérédité : On suppose vérifié $a_n>0$ et $b_n>0$
Alors $a_nb_n>0$ donc $a_{n+1}$ est défini et $a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}>0$
$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}>0$
b) On démontre par récurrence que $a_n\leq b_n$
Initialisation : par hypothèse $a_0\leq b_0$
Hérédité : On suppose vérifié, au rang $n$, $a_n\leq b_n$
$b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{a_n+b_n-2\sqrt{a_nb_n}}{2}=\frac{(\sqrt a_n-\sqrt b_n)^2}{2}\geq 0$
Donc $b_{n+1}-a_{n+1}\geq 0$ soit $a_{n+1}\leq b_{n+1}$. L'inégalité est donc vérifiée au rang $n+1$.
Conclusion : $\forall n \in {\mathbb N},\ a_n\leq b_n$
c) En utilisant l'inégalité précédente $a_{n+1}^2=a_nb_n\geq a_n^2$. Comme il s'agit de nombres positifs, $a_{n+1}\geq a_n$
La suite $a$ est donc croissante.
d) $b_{n+1}-b_n=\frac{a_n+b_n}{2} -b_n =\frac{a_n+b_n-2b_n}{2} =\frac{a_n-b_n}{2}\leq 0$ donc $b_{n+1}\leq b_n$. La suite $b$ est donc décroissante.
2°) De la question 1°, on déduit : $0<a_0\leq a_n \leq b_n\leq b_0$
La suite $a$ croissante est majorée par $b_0$ donc elle converge.
La suite $b$ décroissante est minorée par $a_0$ donc elle converge.
3°) Soit $L$ la limite de la suite $a$ et $L'$ la limite de la suite $b$.
En utilisant l'égalité : $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$, $\lim a_{n+1}=L$ et $\lim \frac{a_n+b_n}{2}=\frac{L+L'}{2}$. On en déduit : $L=\frac{L+L'}{2}$ soit $2L=L+L'$ donc $L=L'$
Remarque Tu ne peux pas affirmer, en sachant seulement qu'une suite est croissante et l'autre décroissante et qu'elles convergent, que les suites sont adjacentes car il y a une condition supplémentaire qui n'a pas été démontrée : $\lim (b_n-a_n)=0$
Ce résultat découle de la troisième question donc les suites sont bien adjacentes mais on ne peut pas prendre le problème à l'envers.