primitive
Re: primitive
Bonjour
$(\sin x)^{2n+1}(\cos x)^n =(\sin^2 x \cos x)^n(\sin x)=[(1-\cos^2 x)\cos x]^n(\sin x)=(\cos x- \cos^3 x)^n(\sin x)$
En faisant le changement de variable $t=\cos x$ donc $-\sin x dx =dt$, on obtient :
$\int (\cos x -\cos^3 x)^n \sin x dx =-\int (t-t^3)^n dt$
$(t-t^3)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-t^3)^kt^{n-k}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k t^{n+2k}$
Ce qui donne pour primitive : $\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{n+2k+1}t^{n+2k+1}$
En revenant à la variable $x$, $F(x)=-\sum_{k=0}^n {n\choose k} \frac{(-1)^k}{n+2k+1} (\cos x)^{n+2k+1}+Cste$
$(\sin x)^{2n+1}(\cos x)^n =(\sin^2 x \cos x)^n(\sin x)=[(1-\cos^2 x)\cos x]^n(\sin x)=(\cos x- \cos^3 x)^n(\sin x)$
En faisant le changement de variable $t=\cos x$ donc $-\sin x dx =dt$, on obtient :
$\int (\cos x -\cos^3 x)^n \sin x dx =-\int (t-t^3)^n dt$
$(t-t^3)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-t^3)^kt^{n-k}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k t^{n+2k}$
Ce qui donne pour primitive : $\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{n+2k+1}t^{n+2k+1}$
En revenant à la variable $x$, $F(x)=-\sum_{k=0}^n {n\choose k} \frac{(-1)^k}{n+2k+1} (\cos x)^{n+2k+1}+Cste$