Équations différentielles

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legeek74
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Équations différentielles

Message par legeek74 » 03 janvier 2015, 17:15

Bonjour,

j'ai un peu de mal avec les transformées de Laplace c'est pourquoi je vous demande votre aide.

voici mon exercice :

a ) soient les fonctions g(x) = sin(x) et f(x) = x avec x>0

Calculer (fog)(x)

b) en utilisant la transformée de Laplace, résoudre l'équation différentielle suivante :

y" + y = x , y(o+)= 1 et y'(o+) = 0

en vous remerciant pour toute l'aide que vous nous apportez et le temps que vous nous accordez.

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Re: Équations différentielles

Message par Job » 03 janvier 2015, 19:06

Bonjour

a) Je ne vois pas trop l'intérêt de cette question : $f\circ g (x)=f(\sin x)=\sin x$ défini si $\sin x>0$ donc si $x\in ]k2\pi , (k+1)2\pi[\ ,\ k\in {\mathbb Z}$

b) $ {\cal L}(y")(p)=p^2 {\cal L}(y)(p)-py(0^+)-y'(0^+)=p^2{\cal L}(y)(p)-p$
${\cal L}(y")(p)+{\cal L}(y)(p)=(p^2+1){\cal L}(y)(p)-p$. D'autre part ${\cal L}(x)(p)=\frac{1}{p^2}$
On en déduit : ${\cal L}(y)(p)=\frac{1}{p^2+1}(\frac{1}{p^2} +p)=\frac{p^3+1}{p^2(p^2+1)}$

En décomposant en éléments simples : ${\cal L}(y)(p)=\frac{p^3+1}{p^2(p^2+1)}=\frac{1}{p^2}+\frac{p-1}{p^2+1}=\frac{1}{p^2} +\frac{p}{p^2+1}-\frac{1}{p^2+1}$

En utilisant la transformation de Laplace inverse (puisqu'il y a bijection) on obtient $y(x)=x+\cos x -\sin x$

legeek74
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Re: Équations différentielles

Message par legeek74 » 03 janvier 2015, 20:24

pour la question a) il me semble qu'il s'agit d'une convolution , je sais qu'il faut calculer une intégrale de la fonction

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Re: Équations différentielles

Message par Job » 04 janvier 2015, 10:03

Je n'avais pas compris qu'il s'agissait d'une convolution car le symbole utilisé était celui de la composition.
$(f\star g)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)f(x-t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty} \sin t \cdot 1_{]0,+\infty[}(t)\cdot (x-t)\cdot 1_{]0,+\infty[}(x-t)dt$
Donc $(f\star g)(x)=\int_0^x (x-t)\sin t dt=[-\cos t(x-t)]_0^x -\int_0^x \cos t dt =x-\sin x$

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