Bonjour!
Comment démontrer de façon simple que la somme de k=1 à n de (1/k) est équivalente à ln(n) lorsque n-->+infini ?
Equivalent à +infini
Re: Equivalent à +infini
Bonjour
On peut procéder de manières un peu différentes mais le point de départ est toujours l'inégalité : $\frac{1}{k+1}\leq \int_k^{k+1} \frac {dt}{t} \leq \frac{1}{k}$ qui se justifie car la fonction inverse est décroissante.
En prenant la première partie de la double inégalité on obtient en sommant : $\frac{1}{2} +\cdots +\frac{1}{n} \leq\int_1^n \frac{dt}{t}$ soit $S_n=1+\frac{1}{2} +\cdots +\frac{1}{n}\leq 1+\ln n $
En prenant la seconde partie : $\int_1^{n+1}\frac{dt}{t} \leq 1+\cdots +\frac{1}{n}$ soit $\ln(n+1)\leq S_n$
Donc $\ln (n+1)\leq S_n \leq 1+\ln n$
$\frac{\ln (n+1)}{\ln n} \leq \frac{S_n}{\ln n}\leq \frac{1}{\ln n}+1$
$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln (n+1)}{\ln n}=\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{\ln n}+1)=1$ donc $S_n\sim \ln n$
On peut procéder de manières un peu différentes mais le point de départ est toujours l'inégalité : $\frac{1}{k+1}\leq \int_k^{k+1} \frac {dt}{t} \leq \frac{1}{k}$ qui se justifie car la fonction inverse est décroissante.
En prenant la première partie de la double inégalité on obtient en sommant : $\frac{1}{2} +\cdots +\frac{1}{n} \leq\int_1^n \frac{dt}{t}$ soit $S_n=1+\frac{1}{2} +\cdots +\frac{1}{n}\leq 1+\ln n $
En prenant la seconde partie : $\int_1^{n+1}\frac{dt}{t} \leq 1+\cdots +\frac{1}{n}$ soit $\ln(n+1)\leq S_n$
Donc $\ln (n+1)\leq S_n \leq 1+\ln n$
$\frac{\ln (n+1)}{\ln n} \leq \frac{S_n}{\ln n}\leq \frac{1}{\ln n}+1$
$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln (n+1)}{\ln n}=\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{\ln n}+1)=1$ donc $S_n\sim \ln n$
Re: Equivalent à +infini
Super, Merci!