Matrice

[youcef-ait]

Bonjour,



Je n'ai pas vu ces notions-là avec mon simple DUT mesures physiques, enfin, ça m'a l'air pas tellement compliqué au vu des définitions de la trace, mais pour éviter de dire des bêtises à l'élève je préfère laisser quelqu'un qui les maîtrise comme vous.

2) Je pense qu'il aurait simplement fallu prendre des matrices 2x2 avec des coefficients (a11/a12 etc pour A....b11 etc pour B....c11 etc), en faire les produits et additionner la diagonale ?

[Job]

1)
- $A=I_2^{-1}AI_2$ donc la relation est réflexive.
- Si $A=P^{-1} B P $ alors $B=PAP^{-1}$ donc la relation est symétrique.
- Si $A=P^{-1}BP$ et $B=Q^{-1}CQ$ avec $C$ et $Q$ matrices inversibles alors $A=P^{-1}Q^{-1}CQP=(QP)^{-1}C(QP)$ avec $QP$ inversible puisque produit de 2 matrices inversibles. Donc $A$ est semblable à $C$ et la relation est transitive.

Si $0=P^{-1}BP$ alors $P0P^{-1}=B$ donc $B$ est la matrice nulle. La classe d'équivalence de la matrice nulle ne comprend que la matrice nulle.

2) Les termes diagonaux de la matrice $AB$ sont respectivement : $a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}$ et $a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22}$ et la trace est la somme de ces 2 termes.
Les termes diagonaux de la matrice $BA$ sont respectivement : $b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}$ et $b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}$
Les sommes sont donc égales.
La trace est commutative.

En utilisant cette commutativité : $Tr(ABC)=Tr[A(BC)]=Tr[(BC)A]=Tr(BCA)$ et $Tr(ABC))=Tr[(AB)C]=Tr[C(AB)]=Tr(CAB)$

3) Si $A=P^{-1}BP$ alors $Tr(A)=Tr(P^{-1}BP)=Tr(BPP^{-1})=Tr(BI_2)=Tr(B)$ en utilisant la question 2.
$det(P^{-1}BP)=det(P^{-1}) \times det(B)\times det(P)$ Comme $det(P^{-1})=\frac{1}{det(P)}$ on en déduit que $det(A)=det(B)$.

[youcef-ait]

Merci pour ces 3 premières questions, je pense qu'il s'en sortira pour le reste.

[Job]

Je poursuis
4 ) Les matrices $A$ et $B$ ont toutes deux une trace nulle et un déterminant nul. Dans la première question, on a vu que la classe d'équivalence de la matrice nulle donc de $B$ ne contient que la matrice nulle donc $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

5 ) $I_2=P^{-1}I_2P$ pour toue matrice inversible $P$
Si $A$ et $B$ sont semblables $A-aI_2=P^{-1}BP-aP^{-1}I_2P=P^{-1}(B-aI_2)P$ donc $A-aI_2$ et $B-aI_2$ sont semblables.
Réciproquement il suffit de prendre les calculs dans l'autre sens.

6 ) Pour que 2 matrices soient semblables il est nécessaire (mais pas suffisant) que les 2 matrices aient la même trace (question 3). Donc on doit avoir $2b=5+3$ soit $b=4$
D'après la question 5), $M$ et $B$ sont semblables si et seulement si $N=M-4I=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-1\end{matrix}\right)$ et $C=B-4I=\left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right)$ sont semblables.
$N=P^{-1}CP\Longleftrightarrow PN=CP$
Soit $P=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$.
$PN=\left(\begin{matrix} a+b&-a-b\\c+d&-c-d\end{matrix}\right)$ et $CP=\left(\begin{matrix}c&d\\0&0\end{matrix}\right)$
$PN=CP$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}c&=&a+b \\ d&=&-c\end{array}\right.$
On peut donc prendre $P=\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)$ et $P$ est bien inversible puisque son déterminant est égal à $-2-2=-4\neq 0$.

7 ) $AC$ a pour trace : $a_{11}c_{11}+a_{12}c_{21}+a_{21}c_{12}+a_{22}c_{22}$
$BC$ a pour trace $b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21}+b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22}$

SI on choisit $C=\left(\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}\right)$ de l'égalité des 2 traces, on déduit que $a_{11}=b_{11}$
On fait de même avec les 3 autres matrices qui ont un seul coefficient égal à 1 et les autres nuls et on en déduit que les autres coefficients de $A$ et $B$ sont respectivement égaux donc $A=B$.

[youcef-ait]

Je vous remercie d'avoir pris ce temps Job.