Bonjour,j'ai tenté d'intégrer sans succès cette fonction :
intégrale de racine(2x) *ln(5x+4) malgré le fais que j'ai écrit racine(2x)=2x^(1/2),primitive de lnu=u*lnu-u...
je pose u=racine(2x) ou u'=racine(2x) la seconde expressions de l'intégral(-intégrale de v'u) n'est pas simple à calculer.
Si tu pouvais m'aider ça serais sympa .
Intégration par partie
Re: Intégration par partie
Bonjour
As-tu vu en cours le changement de variable dans les intégrales ? Après une intégration par parties, il me semble qu'il faut faire un changement de variables.
As-tu vu en cours le changement de variable dans les intégrales ? Après une intégration par parties, il me semble qu'il faut faire un changement de variables.
Re: Intégration par partie
Oui j'ai vaguement vu ça,on ne s'est pas attarder dessus.,mais ça me simplifiera probablement la tache en effet.
Si je trouve quelque chose ,je te tiendrai au courant .
Si je trouve quelque chose ,je te tiendrai au courant .
Re: Intégration par partie
Dans une intégration par parties, quand il y a une fonction $ln$, c'est la plupart du temps celle que l'on dérive.
Je pose donc $u(x)=\ln (5x+4)$ et $v'(x)=\sqrt 2x^{\frac{1}{2}}$ donc $u'(x)=\frac{5}{5x+4}$ et $v(x)=\sqrt 2\times \frac{1}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}=\frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x$
$I=\frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x \ln (5x+4)-\frac{10\sqrt 2}{3}\int \frac{x\sqrt x}{5x+4}dx$
Soit $J=\int\frac{x\sqrt x}{5x+4} dx$
On fait un changement de variable en posant $t=\sqrt x$ donc $x=t^2$ et $dx=2tdt$
$J=\int\frac{t^3}{5t^2+4} (2tdt)=2\int \frac{t^4}{5t^2+4} dt$
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples en effectuant la division du numérateur par le dénominateur : le quotient est $\frac{1}{5}t^2-\frac{4}{25}$ et le reste $\frac{16}{25}$
$J=2\int(\frac{1}{5} t^2-\frac{4}{25}+\frac{\frac{16}{25}}{5t^2+4})dt=2(\frac{1}{15}t^3-\frac{4}{25} t)+2\int \frac{16}{125t^2+100} dt$
Soit $K=\int \frac{16}{125t^2+100} dt=\int\frac{16}{100(\frac{5}{4}t^2 +1)} dt=\frac{16}{100} \int \frac{1}{\frac{5}{4}t^2+1} dt$
$\int \frac{1}{\frac{5}{4}t^2+1} dt=\frac{2}{\sqrt 5}\arctan(\frac{\sqrt5}{2} t)$
Il reste à recoller tout ça.
$K=\frac{16}{100}\times \frac{2}{\sqrt 5}\arctan(\frac{\sqrt 5}{2} t)=\frac{8\sqrt 5}{125} \arctan(\frac{\sqrt5}{2} t)$
$J=\frac{2}{15} t^3-\frac{8}{25} t +\frac{16\sqrt 5}{125}\arctan (\frac{\sqrt 5}{2} t)$
On revient à la variable $x$ puisque $t=\sqrt x$
$J=\frac{2}{15} x\sqrt x -\frac{8}{25}\sqrt x +\frac{16}{125} \arctan (\frac{\sqrt 5}{2} \sqrt x)$
$I= \frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x \ln (5x+4)-\frac{10\sqrt 2}{3}(\frac{2}{15} x\sqrt x -\frac{8}{25}\sqrt x +\frac{16}{125} \arctan (\frac{\sqrt 5}{2} \sqrt x))$
$I= \frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x \ln (5x+4)-\frac{4\sqrt 2}{9}x\sqrt x +\frac{16}{15} \sqrt x -\frac{32}{75} \arctan(\frac{\sqrt 5}{2} \sqrt x)$
c'est un exercice assez difficile, les différents calculs sont à vérifier.
Je pose donc $u(x)=\ln (5x+4)$ et $v'(x)=\sqrt 2x^{\frac{1}{2}}$ donc $u'(x)=\frac{5}{5x+4}$ et $v(x)=\sqrt 2\times \frac{1}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}=\frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x$
$I=\frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x \ln (5x+4)-\frac{10\sqrt 2}{3}\int \frac{x\sqrt x}{5x+4}dx$
Soit $J=\int\frac{x\sqrt x}{5x+4} dx$
On fait un changement de variable en posant $t=\sqrt x$ donc $x=t^2$ et $dx=2tdt$
$J=\int\frac{t^3}{5t^2+4} (2tdt)=2\int \frac{t^4}{5t^2+4} dt$
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples en effectuant la division du numérateur par le dénominateur : le quotient est $\frac{1}{5}t^2-\frac{4}{25}$ et le reste $\frac{16}{25}$
$J=2\int(\frac{1}{5} t^2-\frac{4}{25}+\frac{\frac{16}{25}}{5t^2+4})dt=2(\frac{1}{15}t^3-\frac{4}{25} t)+2\int \frac{16}{125t^2+100} dt$
Soit $K=\int \frac{16}{125t^2+100} dt=\int\frac{16}{100(\frac{5}{4}t^2 +1)} dt=\frac{16}{100} \int \frac{1}{\frac{5}{4}t^2+1} dt$
$\int \frac{1}{\frac{5}{4}t^2+1} dt=\frac{2}{\sqrt 5}\arctan(\frac{\sqrt5}{2} t)$
Il reste à recoller tout ça.
$K=\frac{16}{100}\times \frac{2}{\sqrt 5}\arctan(\frac{\sqrt 5}{2} t)=\frac{8\sqrt 5}{125} \arctan(\frac{\sqrt5}{2} t)$
$J=\frac{2}{15} t^3-\frac{8}{25} t +\frac{16\sqrt 5}{125}\arctan (\frac{\sqrt 5}{2} t)$
On revient à la variable $x$ puisque $t=\sqrt x$
$J=\frac{2}{15} x\sqrt x -\frac{8}{25}\sqrt x +\frac{16}{125} \arctan (\frac{\sqrt 5}{2} \sqrt x)$
$I= \frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x \ln (5x+4)-\frac{10\sqrt 2}{3}(\frac{2}{15} x\sqrt x -\frac{8}{25}\sqrt x +\frac{16}{125} \arctan (\frac{\sqrt 5}{2} \sqrt x))$
$I= \frac{2\sqrt 2}{3} x\sqrt x \ln (5x+4)-\frac{4\sqrt 2}{9}x\sqrt x +\frac{16}{15} \sqrt x -\frac{32}{75} \arctan(\frac{\sqrt 5}{2} \sqrt x)$
c'est un exercice assez difficile, les différents calculs sont à vérifier.
Re: Intégration par partie
Merci beaucoup !
J'ai choisi d'intégrer ça mais je suis fou...,j'aurai du prendre plus simple.
Je vais vérifier encore et m’entraîner sans relâche avec d'autres cas.
J'ai choisi d'intégrer ça mais je suis fou...,j'aurai du prendre plus simple.
Je vais vérifier encore et m’entraîner sans relâche avec d'autres cas.