Bonjour,voici la suite de mon exercice de TD:
(x^2 − 1)/(x^3 − 1);et x^3/(x^4 − 1) alors dans les deux cas,le dénominateur est de degré supérieur ,donc on peut écrire dans le premier cas :
Une racine évidente de (x^3 − 1) est 1,et parce que le dénominateur est de degré supérieur on peut écrire:
(x^2 − 1)/(x^3 − 1) et on peut écrire que x^3 − 1=(x-1)*Q(x) puis Q(x)=( x^3 − 1)/(x-1) =x²+x+1 donc (x^2 − 1)/(x^3 − 1)= a/(x-1)+bx+c/(x²+x+1)
Après je me suis "inspiré " d'une vidéo dans laquelle quelqu'un traite le cas 1/(x^3 − 1),mais je ne comprend pas d'ou sorte ces " a,bx+c..."
Même si je vois que sans a,bx+c ,si on mettait a/..+b/.. on aurait du x ou x² au numérateur pour 1/(x^3 − 1).
Je traiterai le cas 2 plus tard .
Décomposition en éléments simple
Re: Décomposition en éléments simple
Bonjour
Dans une décomposition sur $\mathbb R$, lorsque le dénominateur, polynôme du second degré, n'a pas de racine réelle, le numérateur de l'élément simple correspondant est un polynôme du premier degré .
Ici c'est le cas pour $x^2+x+1$ donc on a, à priori, une décomposition de la forme : $\frac{a}{x-1} +\frac{bx+c}{x^2+x+1}$
Mais il faut remarquer que $\frac{x^2-1}{x^3-1}= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$ est simplifiable pour $x\neq 1$ par $x-1$
Il reste donc simplement $\frac{x+1}{x^2+x+1}$ et c'est terminé.
Dans une décomposition sur $\mathbb R$, lorsque le dénominateur, polynôme du second degré, n'a pas de racine réelle, le numérateur de l'élément simple correspondant est un polynôme du premier degré .
Ici c'est le cas pour $x^2+x+1$ donc on a, à priori, une décomposition de la forme : $\frac{a}{x-1} +\frac{bx+c}{x^2+x+1}$
Mais il faut remarquer que $\frac{x^2-1}{x^3-1}= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$ est simplifiable pour $x\neq 1$ par $x-1$
Il reste donc simplement $\frac{x+1}{x^2+x+1}$ et c'est terminé.
Re: Décomposition en éléments simple
Ensuite dans le second cas,on a x^3/(x^4 − 1),et nous pouvons voir deux racines évidente de (x^4 − 1) c'est -1 et 1.
Puis comme pour le cas précédent on divise (x^4 − 1) par x-1 puis par x+1 normalement,mais pas sur donc je m'arrête là.
Mais je peux au moins dire que x^3/(x^4 − 1)=...+.../(x-1)+.../(x+1).
PS: je posterais les valeur de a et b du 1) plus tard.
Puis comme pour le cas précédent on divise (x^4 − 1) par x-1 puis par x+1 normalement,mais pas sur donc je m'arrête là.
Mais je peux au moins dire que x^3/(x^4 − 1)=...+.../(x-1)+.../(x+1).
PS: je posterais les valeur de a et b du 1) plus tard.
Re: Décomposition en éléments simple
Effectivement,c'est plus rapide,mais on peut aussi additionner a/(x-1)+(bx+c)/(x^2+x+1) ce qui donne [(a+b)x²+(c+a-b)x+cx-c]/(...)(...).Job a écrit :Bonjour
Dans une décomposition sur $\mathbb R$, lorsque le dénominateur, polynôme du second degré, n'a pas de racine réelle, le numérateur de l'élément simple correspondant est un polynôme du premier degré .
Ici c'est le cas pour $x^2+x+1$ donc on a, à priori, une décomposition de la forme : $\frac{a}{x-1} +\frac{bx+c}{x^2+x+1}$
Mais il faut remarquer que $\frac{x^2-1}{x^3-1}= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$ est simplifiable pour $x\neq 1$ par $x-1$
Il reste donc simplement $\frac{x+1}{x^2+x+1}$ et c'est terminé.
Et selon ton résultat final ^^,a=2/3 ;b=-a,et c=-1/3.
Après je chercherai la démonstrations de cette formule: a/(x-1) +bx+c/(x^2+x+1) car ça ne me semble pas évident.
Re: Décomposition en éléments simple
J'obtiens $a=0\ ;\ b=c=1$
Pour les exercices tu as simplement à savoir et à appliquer le résultat suivant pour une décomposition dans R :
Si $F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ avec degré de $P$ < degré de $Q$, les éléments simples sont
- soit de la forme $\frac{a}{(x-\alpha)^k}$ où $\alpha$ est une racine de $Q(x)$
- soit de la forme $\frac{bx+c}{(x^2+px+q)^k}$ où $x^2+px+q$ est un trinôme du second degré qui divise $Q(x)$ mais qui ne possède pas de racine réelle (donc dont le discriminant est négatif)
Pour les exercices tu as simplement à savoir et à appliquer le résultat suivant pour une décomposition dans R :
Si $F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ avec degré de $P$ < degré de $Q$, les éléments simples sont
- soit de la forme $\frac{a}{(x-\alpha)^k}$ où $\alpha$ est une racine de $Q(x)$
- soit de la forme $\frac{bx+c}{(x^2+px+q)^k}$ où $x^2+px+q$ est un trinôme du second degré qui divise $Q(x)$ mais qui ne possède pas de racine réelle (donc dont le discriminant est négatif)
Re: Décomposition en éléments simple
Ah mince,je vais tout refaire,j'imagine que k est une puissance quelconque .
En tout cas merci pour ta patience .
En tout cas merci pour ta patience .