Voici d'autres exos que j'ai fait sur les décomposition :
1/((x − 1)^2(x +1)^2) Donc il y a deux racine pour x-1 et deux pour x+1 donc en tout 4 racine .
Par conséquent la décomposition sera:
F(x)=1/((x − 1)^2(x +1)^2)=a/(x − 1)^2+b/(x − 1)+c/(x +1)^2+d/(x +1).
Si je ne me trompe pas et si je rédige bien.
Ensuite,voici un autre cas:
(x^3 − x^2 +2x − 4)/(x^2 + 2x + 2) admet -2 comme racine et ce quotient de polynôme est un polynôme de degré 1 mais je ne vois pas ce que donne la factorisation du dénominateur.
Ensuite j'ai une question .
Dans un livre je vois que ce quotient :
( x^2+2x +5)/(x^2 -3x + 2) est de degré 0 (ce que je ne suis pas sur de comprendre).
Puis que F(x)=1+a/(x-1)+b/(x-2) ,mais d'ou sort ce 1?
Décomposition en éléments simple2
Re: Décomposition en éléments simple2
Pour le 1 ) Le problème est alors de déterminer les valeurs de $a,\ b,\ c,\ d$
Pour le 2 on effectue la division des polynômes , on obtient comme quotient : $x-3$ et comme reste $6x+2$ donc
$x^3-x^2+2x-4=(x^2+2x+2)(x-3)+6x+2$
$\frac{x^3-x^2+2x-4}{x^2+2x+2}=x-3+\frac{6x+2}{x^2+2x+2}$
La décomposition dans $\mathbb R$ est terminée car le polynôme $x^2+2x+2$ a un discriminant négatif donc n'a pas de racine réelle.
Pour le 3 en effectuant la division des polynômes, on obtient 1 comme quotient et $5x+3$ comme reste.
$x^2+2x+5=(x^2-3x+2)\times 1 + 5x+3$
$\frac{x^2+2x+5}{x^2-3x+2}=1+\frac{5x+3}{x^2-3x+2}$
Comme le dénominateur a comme racines 1 et 2, $\frac{5x+3}{x^2-3x+2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}$
Pour les calculs des réels $a,\ b,\cdots$, je compléterai ma réponse demain.
Pour le 2 on effectue la division des polynômes , on obtient comme quotient : $x-3$ et comme reste $6x+2$ donc
$x^3-x^2+2x-4=(x^2+2x+2)(x-3)+6x+2$
$\frac{x^3-x^2+2x-4}{x^2+2x+2}=x-3+\frac{6x+2}{x^2+2x+2}$
La décomposition dans $\mathbb R$ est terminée car le polynôme $x^2+2x+2$ a un discriminant négatif donc n'a pas de racine réelle.
Pour le 3 en effectuant la division des polynômes, on obtient 1 comme quotient et $5x+3$ comme reste.
$x^2+2x+5=(x^2-3x+2)\times 1 + 5x+3$
$\frac{x^2+2x+5}{x^2-3x+2}=1+\frac{5x+3}{x^2-3x+2}$
Comme le dénominateur a comme racines 1 et 2, $\frac{5x+3}{x^2-3x+2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}$
Pour les calculs des réels $a,\ b,\cdots$, je compléterai ma réponse demain.
Re: Décomposition en éléments simple2
Exercice 1
Soit $F(x)=\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{a}{(x-1)^2} +\frac{b}{x-1} +\frac{c}{(x+1)^2}+\frac{d}{x+1}$
Calcul de a : on multiplie par $(x-1)^2$
$\frac{1}{(x+1)^2}=a+b(x-1)+\frac{c(x-1)}{(x+1)^2}+\frac{d(x-1)}{x+1}$
Pour $x=1$, on obtient $\frac{1}{4} =a$
Soit $G(x)=F(x)-\frac{1}{4(x-1)^2}=\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2} -\frac{1}{4(x-1)^2}=\frac{4-(x+1)^2}{4(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{(2-x-1)(2+x+1)}{4(x-1)^2(x+1)^2}$
$=\frac{-(x-1)(3+x)}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{-(x+3)}{4(x-1)(x+1)^2}$
On donc $G(x)=\frac{-(x+3)}{4(x-1)(x+1)^2}+\frac{b}{x-1} +\frac{c}{(x+1)^2}+\frac{d}{x+1}$
On recommence le même procédé pour calculer $b$ en multipliant par $x-1$
$\frac{-(x+3)}{4(x+1)^2}=b +\frac{c(x-1)}{(x+1)^2} +\frac{d(x-1)}{x+1}$
Pour $x=1$, on obtient : $-\frac{1}{4}=b$
Soit $H(x) =G(x)-(-\frac{1}{4(x-1)})=\frac{-(x+3)}{4(x+1)^2}+\frac{1}{4(x-1)}=\frac{-x-3+(x+1)^2}{4(x-1)(x+1)^2}=\frac{x^2+x-2}{4(x-1)(x+1)^2}$
$=\frac{(x-1)(x+2)}{4(x-1)(x+1)^2}=\frac{x+2}{4(x+1)^2}$
On a donc maintenant $\frac{x+2}{4(x+1)^2}=\frac{c}{(x+1)^2}+\frac{d}{x+1}=4\times (\frac{c+d(x+1)}{4(x+1)^2}$
Par identification : $\left\{\begin{array}{rcl} 4d&=&1\\ 4c+4d&=&2\end{array}\right.$ donc $c=d=\frac{1}{4}$
IL reste à rassembler les résultats :
$F(x)=\frac{1}{4(x-1)^2}-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x+1)^2} +\frac{1}{4(x+1)}$
Il y a d'autres techniques, je ne sais pas ce que tu as vu avec ton professeur.
Soit $F(x)=\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{a}{(x-1)^2} +\frac{b}{x-1} +\frac{c}{(x+1)^2}+\frac{d}{x+1}$
Calcul de a : on multiplie par $(x-1)^2$
$\frac{1}{(x+1)^2}=a+b(x-1)+\frac{c(x-1)}{(x+1)^2}+\frac{d(x-1)}{x+1}$
Pour $x=1$, on obtient $\frac{1}{4} =a$
Soit $G(x)=F(x)-\frac{1}{4(x-1)^2}=\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2} -\frac{1}{4(x-1)^2}=\frac{4-(x+1)^2}{4(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{(2-x-1)(2+x+1)}{4(x-1)^2(x+1)^2}$
$=\frac{-(x-1)(3+x)}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{-(x+3)}{4(x-1)(x+1)^2}$
On donc $G(x)=\frac{-(x+3)}{4(x-1)(x+1)^2}+\frac{b}{x-1} +\frac{c}{(x+1)^2}+\frac{d}{x+1}$
On recommence le même procédé pour calculer $b$ en multipliant par $x-1$
$\frac{-(x+3)}{4(x+1)^2}=b +\frac{c(x-1)}{(x+1)^2} +\frac{d(x-1)}{x+1}$
Pour $x=1$, on obtient : $-\frac{1}{4}=b$
Soit $H(x) =G(x)-(-\frac{1}{4(x-1)})=\frac{-(x+3)}{4(x+1)^2}+\frac{1}{4(x-1)}=\frac{-x-3+(x+1)^2}{4(x-1)(x+1)^2}=\frac{x^2+x-2}{4(x-1)(x+1)^2}$
$=\frac{(x-1)(x+2)}{4(x-1)(x+1)^2}=\frac{x+2}{4(x+1)^2}$
On a donc maintenant $\frac{x+2}{4(x+1)^2}=\frac{c}{(x+1)^2}+\frac{d}{x+1}=4\times (\frac{c+d(x+1)}{4(x+1)^2}$
Par identification : $\left\{\begin{array}{rcl} 4d&=&1\\ 4c+4d&=&2\end{array}\right.$ donc $c=d=\frac{1}{4}$
IL reste à rassembler les résultats :
$F(x)=\frac{1}{4(x-1)^2}-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x+1)^2} +\frac{1}{4(x+1)}$
Il y a d'autres techniques, je ne sais pas ce que tu as vu avec ton professeur.
Re: Décomposition en éléments simple2
Merci 
Ben en fait,avec mon prof,on utilise cette méthode:
Pour calculer la décomposition en éléments simples de A(.)/B(.)
, il faut suivre les étapes suivantes.
Effectuer la division euclidienne de A(x) par B(x) , on en déduit la valeur de P(x).
Ecrire B(.) comme un produit de polynôme(s) du premier degré et de polynôme(s)irréductible(s) du second degré ( si on est dans R).
En déduire la décomposition théorique de A(x)/B(x) selon l’une des formules (∗)
Déterminer les coefficients des éléments simples dans la décomposition
Ben en fait,avec mon prof,on utilise cette méthode:
Pour calculer la décomposition en éléments simples de A(.)/B(.)
, il faut suivre les étapes suivantes.
Effectuer la division euclidienne de A(x) par B(x) , on en déduit la valeur de P(x).
Ecrire B(.) comme un produit de polynôme(s) du premier degré et de polynôme(s)irréductible(s) du second degré ( si on est dans R).
En déduire la décomposition théorique de A(x)/B(x) selon l’une des formules (∗)
Déterminer les coefficients des éléments simples dans la décomposition
Re: Décomposition en éléments simple2
C'est pour la détermination des coefficients des éléments simples qu'il y a plusieurs méthodes.
Re: Décomposition en éléments simple2
Ah ok,d'accord.Job a écrit :C'est pour la détermination des coefficients des éléments simples qu'il y a plusieurs méthodes.