Salut,j'ai fais cet exercice et comme d'habitude j'aurai besoin d'un peu d'aide si possible .
Le voici:
Soit P(.) un polynôme à coefficients dans , défini par :
P(x) = 6x^4 − 5 x^3 − 38 x² − 5x + 6 , ∀x ∈ .
1./ Soit une a racine de P(.) , montrer que a ≠ 0 et que P(1/a) = 0.
2./ Calculer P(3) et en déduire que P(.) est divisible par Q(.) défini par : Q(x) = x² −(10x/3)+ 1.
3./ Factoriser le polynôme P(.).
Et voici mes réponses:
Pour montrer que 0 n'est pas une racine ,il faut calculer P(0) et prouver que c'est différent de 0.
Ce qui donne :
P(0)=6*0-5*0-38*0-5*0+6=6 différent de 0.
Puis P(1/a)=(6/a^4)-(5/a^3-(38/a²)-5/a+6=(6a^11-5a^10-38a^9-5a^8+6a^7)/a^7.
Mais je ne vois pas comment montrer que ça donne 0.
Ensuite ,
2)De la même façon,P(3)=6*3^4-...=-684.
En déduire,je donne ma langue aux chats...
3)P(x)=B(x)*Q(x)=(6x²+75x²+132x/30+15/10+6)(x² −(10x/3)+ 1).
Mais il doit y avoir un problème dans ma division euclidienne.
PS: Merci pour tes réponses aux derniers messages que j'ai posté,je n'ai pas pu te remercié avant,mais j'ai tout lu.
Divisions de polynômes et racines
Re: Divisions de polynômes et racines
Bonjour
1) Tu as oublié d'utiliser l'hypothèse que $a$ est une racine de P.
$P(\frac{1}{a}) =\frac{6}{a^4} -\frac{5}{a^3} -\frac{38}{a^2} -\frac{5}{a} +6$
En réduisant au même dénominateur $a^4$, on obtient $P(\frac{1}{a})=\frac{6-5a-38a^2-5a^3+6}{a^4}=\frac{P(a)}{a^4}$
Puisque $a$ est une racine $P(a)=0$ donc $P(\frac{1}{a})=0$.
2) $P(3)=486-135-342-15+6=0$
3 est donc une racine et, en utilisant la première question, on en déduit que $\frac{1}{3}$ est également racine du polynôme $P$.
Par conséquent $P$ est factorisable par $(x-3)(x-\frac{1}{3})=x^2-\frac{10}{3}x +1$
3) Si on fait la division euclidienne de $P(x) $par $Q(x)$ :
- le premier terme du quotient est $6x^2$ et $P(x)-(6x^2)(Q(x)=15x^3-44x^2-5x+6$
- le second terme du quotient est $15 x$ et $15x^3-44x^2-5x+6-(15x)(Q(x)=6x^2-20 x +6$
- le troisième terme du quotient est $6$ et $6x^2-20 x +6-6Q(x)=0$
(Pour obtenir la factorisation on peut aussi partir de $P(x)=(x^2-\frac{10}{3} x +1)(ax^2+bx+c)$
On développe le produit et on identifie les coefficients)
Donc $P(x)=(x^2-\frac{10}{3} x +1)(6x^2+15x+6)$
1) Tu as oublié d'utiliser l'hypothèse que $a$ est une racine de P.
$P(\frac{1}{a}) =\frac{6}{a^4} -\frac{5}{a^3} -\frac{38}{a^2} -\frac{5}{a} +6$
En réduisant au même dénominateur $a^4$, on obtient $P(\frac{1}{a})=\frac{6-5a-38a^2-5a^3+6}{a^4}=\frac{P(a)}{a^4}$
Puisque $a$ est une racine $P(a)=0$ donc $P(\frac{1}{a})=0$.
2) $P(3)=486-135-342-15+6=0$
3 est donc une racine et, en utilisant la première question, on en déduit que $\frac{1}{3}$ est également racine du polynôme $P$.
Par conséquent $P$ est factorisable par $(x-3)(x-\frac{1}{3})=x^2-\frac{10}{3}x +1$
3) Si on fait la division euclidienne de $P(x) $par $Q(x)$ :
- le premier terme du quotient est $6x^2$ et $P(x)-(6x^2)(Q(x)=15x^3-44x^2-5x+6$
- le second terme du quotient est $15 x$ et $15x^3-44x^2-5x+6-(15x)(Q(x)=6x^2-20 x +6$
- le troisième terme du quotient est $6$ et $6x^2-20 x +6-6Q(x)=0$
(Pour obtenir la factorisation on peut aussi partir de $P(x)=(x^2-\frac{10}{3} x +1)(ax^2+bx+c)$
On développe le produit et on identifie les coefficients)
Donc $P(x)=(x^2-\frac{10}{3} x +1)(6x^2+15x+6)$