Exercice 10.
Résoudre les équations différentielles suivantes où y(.) est une fonction dérivable de la variable
réelle t.
1. (1) y'(t) − 3y(t) = 0 ;
(2) 2y'(t) − 3y(t) = 0 ;
(3) y'(t) + y(t) = t et y(0) = 2;
2. y'(t)+ 2y(t) = sin(2t). (On cherchera une solution particulière sous la forme t Acos(2t) + Bsin(2t)).
Ce que j'ai écris:
(1)Alors y'(t)−3y(t) = 0 est de la forme y'+ ay = 0 donc les solutions sont de la forme:
y(t) = Ce^−at donc y(t)= Ce^−(-3t)= Ce^3t Et pour trouvé t(je ne sais pas si il y a d'autre méthode),on peut dire que y'(t)= 3y(t) par conséquent $\int y'(t)$= $\int 3y(t)$=3xy donc S=y(t)=3xy*e^3t
(2)Pareil,y=Ce^−at=Ce^3t et 2y'(t)= 3y(t) donc y(t)= 2y'(t)/3.
Donc les solutions sont de la forme S=y(t)= 2y'(t)/3*e^3t .
(3) y'(t) + y(t) = t et y(0) = 2;c'est de la forme y'+ay = f(t)
La solution générale de l’équation différentielle (E), est la somme d’une solution particulière
de (E) et de la "solution générale" de l’équation homogène associée :(E0). Selon mon cours
Donc ça veut dire que y(t)=t-y'(t)
Et y(0)=2,alors y(0)=2=0-y'(2) donc 2=-y(0)
Mais ça ne m'aide pas à trouvé la solution particulière.
Cependant la solution générale est de la forme Ce^at.
Le 2. me semble compliqué.
Équation différentiel
Re: Équation différentiel
1) Les solutions sont les fonctions définies sur ${\mathbb R}$ par $y(t)=Ce^{3t},\ C\in {\mathbb R}$. C'est ce que tu as d'abord écrit et il n'y a rien d'autre à faire.
2) C'est comme la première. On se ramène à $y'(t)-\frac{3}{2} y(t)=0$ et par conséquent les solutions sont les fonctions définies sur ${\mathbb R}$ par $y(t)=Ce^{\frac{3}{2} t}\ C\in {\mathbb R}$
3) On commence par résoudre l'équation sans second membre : $y'(t)+y(t)=0$ ((E'). Les solutions de cette équation sont les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-t}$
On cherche une solution particulière de l'équation (E). Avec un peu de réflexion on trouve la solution $f(t)=t-1$ car on a alors $f'(t)=1$ et $f'(t)+f(t)=1+t-1=t$
Donc les solutions de l'équation donnée sont les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-t}+t-1\ (C\in {\mathbb R})$
$y(0)=2 \Longleftrightarrow C-1=2$ donc $C=3$
La solution répondant au problème est la fonction définie par $y(t)=3e^{-t}+t-1$
4) Sont solutions de l'équation sans second membre les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-2t}$
Recherche de la solution particulière.
Si $y(t)=A\cos (2t)+B\sin (2t)$ alors $y'(t)=-2A\sin (2t)+2B\cos (2t)$
$y'(t)+2y(t)=(-2A+2B)\sin (2t)+(2B+2A)\cos (2t)$
Pour que $y'(t)+2y(t)=\sin (2t) $ on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl} -2A+2B&=&1\\ 2B+2A&=&0\end{array}\right.$
Ce qui donne $A=-\frac{1}{4}$ et $B=\frac{1}{4}$
Donc solution particulière la fonction $-\frac{1}{4} \cos (2t) +\frac{1}{4}\sin (2t)$
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-2t}-\frac{1}{4} \cos (2t) +\frac{1}{4}\sin (2t)\ C\in {\mathbb R}$
2) C'est comme la première. On se ramène à $y'(t)-\frac{3}{2} y(t)=0$ et par conséquent les solutions sont les fonctions définies sur ${\mathbb R}$ par $y(t)=Ce^{\frac{3}{2} t}\ C\in {\mathbb R}$
3) On commence par résoudre l'équation sans second membre : $y'(t)+y(t)=0$ ((E'). Les solutions de cette équation sont les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-t}$
On cherche une solution particulière de l'équation (E). Avec un peu de réflexion on trouve la solution $f(t)=t-1$ car on a alors $f'(t)=1$ et $f'(t)+f(t)=1+t-1=t$
Donc les solutions de l'équation donnée sont les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-t}+t-1\ (C\in {\mathbb R})$
$y(0)=2 \Longleftrightarrow C-1=2$ donc $C=3$
La solution répondant au problème est la fonction définie par $y(t)=3e^{-t}+t-1$
4) Sont solutions de l'équation sans second membre les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-2t}$
Recherche de la solution particulière.
Si $y(t)=A\cos (2t)+B\sin (2t)$ alors $y'(t)=-2A\sin (2t)+2B\cos (2t)$
$y'(t)+2y(t)=(-2A+2B)\sin (2t)+(2B+2A)\cos (2t)$
Pour que $y'(t)+2y(t)=\sin (2t) $ on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl} -2A+2B&=&1\\ 2B+2A&=&0\end{array}\right.$
Ce qui donne $A=-\frac{1}{4}$ et $B=\frac{1}{4}$
Donc solution particulière la fonction $-\frac{1}{4} \cos (2t) +\frac{1}{4}\sin (2t)$
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par $y(t)=Ce^{-2t}-\frac{1}{4} \cos (2t) +\frac{1}{4}\sin (2t)\ C\in {\mathbb R}$