Fonction composé

[Jean37]

Bon c'est la dernière fois que je vous embête aujourd’hui
J'ai fais cet exercice et je voudrais je voulais savoir si c'est bon,merci .

Soient les fonctions f(.) et g(.) définie par f(x)=$\sqrt{x^2-1}$ et g(x)= $\frac{x^2-1}{x^2+1}$.
a)Déterminer leur ensemble de définition.

b)Calculer (g°f)(x) en précisant l'ensemble de définition.

c)Peut-on calculer (f°g)(x) pour tout x appartenant à R?

d)justifier la réponse .

d)calculer de deux manière (g°f)'(x) en tout point ou g°f est dérivable.
2) Les fonctions arcsin(.) arccos(.) et arctan(.) désignent respectivement les fonctions réciproques des fonctions sin(.),cos(.) ,tan(.) conformément aux définitions du cours.
Montrer les formules suivantes.

Pour tout x appartenant à ]-1,+1[, cos[arcsin(x)]=racine de (1-x²) et sin[arccos(x)]=racine de (1-x²).

b) En appliquant la formule de dérivation d'un fonction réciproque,montrer les formules suivantes:
Pour tout t appartenant à ]-1,+1[ ;(arcsin)'(t)=1/racine de(1-t²),et (arccos)'(t)=-1/racine de(1-t²);
Pour tout t appartenant à R,(arctan)'(t)=1/(1+t²).

Et voici ce que j'ai réussi à faire:
a)f(x)=$\sqrt{x^2-1}$et on sait que x²-1 est toujours positif(supérieur ou égale à 1) pour tout x,donc Df=R.

Ensuite on peut dire que g(x)=$\frac{x^2-1}{x^2+1}$ or on sait que le quotient doit être différent de 0,mais on sait aussi que c'est toujours le cas vu que x²+1 toujours supérieur à 0 donc la encore Dg=R.

b)Puis nous pouvons écrire que (g°f)(x) = [(racine de x²-1)²-1][(racine de x²-1)²+1]=(x²-2)/x²,l'ensemble de définition c'est R aussi.

c)Je calculerai f°g pour répondre à cette question,ça me semble nécessaire.
f°g est donc égal à :

√([(x²-1)/(x²+1)]²-1)= √[(x^4-2x²+1)/(x^4+2x²+1)]-1=√[-4x²/(x^4+2x²+1)].
Mais concernant le numérateur on se rend compte que c'est définie pour des x négatif ou égal à 0.
Et en regardant le dénominateur on se rend compte que ça peut être transformé en une équation du second degré:

x²+2x+1=0 qui admet -1 pour racine.
Donc L'ensemble de définition c'est ]-l'infini,-1[ et ce n'est pas définie pour tout x appartenant à R.

d)(g°f)'(x)= ((x²-2)/x²)'= (u/v)'=2/(x²)²=2/x^4.

2.a) Je peux dire que [arcsin(x)] est la fonction réciproque de sin(x) et arccos la fonction réciproque de cos(x) maiss après je ne sais pas pourquoi cos[arcsin(x)] et sin[arccos(x)]=racine de (1-x²)

b) Là je peux au moins dire que si u=f^-1(x),u'=1/(f'(f^-1(x)),donc (arcsin)'(t)=1/(cos(arcsin(t)) ce qui ne ressemble pas à ce que je dois démontré...
Puis (arccos)'(t)=1/(-sinx(arccos(t)).

[Job]

Bonjour

1) a) Une grosse faute. La fonction racine carrée est définie sur ${\mathbb R}^+$ donc pour que $f$ soit définie, il faut que $x^2-1$ soit positif ou nul.
C'est un trinôme du second degré qui admet pour racines 1 et -1 donc d'après la règle sur le signe du trinôme, il est positif à l'extérieur des racines.
$D_f=]-\infty , -1] \cup [1, +\infty[$
Pour la fonction $g$, c'est la dénominateur qui doit être différent de 0 (et non le quotient) mais d'accord pour la réponse : $D_g={\mathbb R}$

b) $g\circ f(x)$ est défini si $x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$
La seconde condition est toujours remplie puisque $D_g={\mathbb R}$ donc il reste que $g\circ f$ est défini si $x\in D_f$ soit $D_{g\circ f} =]-\infty , -1] \cup [1, +\infty[$.
D'accord pour le calcul de $g\circ f (x)$.
Il faut déterminer l'ensemble de définition d'une fonction composée avant de calculer son expression.

c) $f\circ g(x)$ est défini si $x\in D_g$ et $g(x)\in D_f$
La première condition est toujours remplie.
Pour la seconde, il faut donc que $g(x)\in ]-\infty , -1] \cup [1, +\infty[$
$g(x)-1=\frac{-2}{x^2+1}<0$ donc on a toujours $g(x)<1$
$g(x)+1=\frac{2x^2}{x^2+1}\geq 0$ donc $g(x)\geq -1$
Donc $-1\leq g(x)<1$. Par conséquent $g(x)\in D_f$ si et seulement $g(x)=-1$ soit $x=0$. $D_{f\circ g}=\{0\}$

d) $g\circ f$ est dérivable en $x$ si et seulement si $f$ est dérivable en $x$ et $g$ dérivable en $f(x)$.
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0, par conséquent, sur son ensemble de définition, $f$ n'est pas dérivable en (-1) et 1.
La fonction $g$ est dérivable sur ${\mathbb R}$
Conclusion : $g\circ f$ est dérivable sur $]-\infty , -1[ \cup ]1, +\infty[$.
$(g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'(f(x))$
$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt {x^2-1}}$
$g'(x)=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$
Donc $g'(f(x)=\frac{4f(x)}{((f(x))^2+1))^2}=\frac{4\sqrt{x^2-1}}{(x^2-1+1)^2}=\frac{4\sqrt{x^2-1}}{x^4}$
$(g\circ f)'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\times \frac{4\sqrt{x^2-1}}{x^4}=\frac{4}{x^3}$

$(\frac{x^2-2}{x^2})'=\frac{2x(x^2)-2x(x^2-2)}{(x^2)^2}=\frac{4x}{x^4}=\frac{4}{x^3}$

Ici aussi, il faut déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction composée avant de calculer la fonction dérivée

Je traiterai la seconde partie plus tard.

[Job]

a) Posons $y=\arcsin x$. Cela équivaut à $x=\sin y$ et $-\frac{\pi }{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}$
$\cos^2 y=1-\sin^2y=1-x^2$.
Sur l'intervalle $[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]$, $\cos y \geq 0$ donc $\cos y =\sqrt{1-x^2}$

Posons $y=\arccos x$. Cela équivaut à $x=\cos y$ et $0\leq y \leq \pi$
$\sin^2 y=1-\cos^2y=1-x^2$.
Sur l'intervalle $[0,\pi]$, $\sin y \geq 0$ donc $\sin y =\sqrt{1-x^2}$

b) Soit $f(t)=\sin t$ donc $f^{-1}(t)=\arcsin t$ et $f'(t)=\cos t$
En appliquant la formule que vous avez rappelée :
$(f^{-1})'(t)=\frac{1}{\cos (\arcsin t)}=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ en utilisant le résultat établi en a)

Soit $f(t)=\cos t$ donc $f^{-1}(t)=\arccos t$ et $f'(t)=-\sin t$
$(f^{-1})'(t)=\frac{1}{-\sin (\arccos t)}=\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}$ en utilisant le résultat établi en a)

Soit $f(t)=\tan t$ donc $f^{-1}(t)=\arctan t$ et $f'(t)=1+\tan^2 t$
$(f^{-1})'(t)=\frac{1}{1+[\tan(\arctan t)]^2}=\frac{1}{1+t^2}$

[Jean37]

Merci beaucoup job