Bonjour,j'a essayé de répondre aux questions de cet exercice,mais je n'ai pas le corrigé,voila pourquoi je voudrais que quelqu'un me dise si ce que j'ai fait est bon ou pas,merci.
Le voici:
Calculer en utilisant une intégration par partie:
$\int_0^1 xe^x d(x)$ $ \int_0^\pi xcos(2x)d(x)$,$\int_0^\pi x^2 sin(2x)d(x)$.
3.En effectuant le changement de variable indiqué,calculer:
$\int_0^1 \frac{2e^x}{e^2x+1} $,on posera $t=e^x$
(2)$\int_1^e \frac{(lnx)^n}{x}$,on posera $t=lnx$
Et dans le premier cas,on a $\int_0^1 xe^x d(x)$=$\int u v'$=$ uv -\int u' v$
Et si on pose u'=e^x et v=x,alors $\int_0^1 xe^x$=$xe^x$=
-$\int_0^1 xe^x$=$xe^x-e^x$=F(1)-F(0).
2)On posera:
u'=cos(2x) et v=x,par conséquent $\int_0^\pi xcos(2x)$=$1/2sin(2x)x-\_0^\pi*1/2sin(2x)$=1/2sin(2x)*x-cos(2x)=F(pi)-F(0).
3)$\int_0^\pi x^2 sin(2x)d(x)$:
On pose encore u'=sin(2x)= et v=x² donc $ \int_0^\pi x^2 sin(2x)d(x)$=-1/2cos(2x)*x²
-$\int_0^\pi 2x \frac{-1}{2}cos(2x)$=-$1/2cos(2x)x^2 +\int_0^\pi x cos(2x)$=-1/2cos(2x)*x² +x*(-1/2)*sin(2x)+cos(2x).
Ensuite en 3.
$\int_0^1 \frac{2e^x}{e^2x+1}$bdevient grâce au changement de variable:
$\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}$= Ln|x^2+1|=F(1)-F(0).
Et $\int_1^e \frac{(lnx)^n}{x}$,on posera $t=lnx$ devient:
$\int_1^e \frac{(t)^n}{e^ln(t)}$=$\int_1^e \frac{(t)^n}{t}$= mais la je suis bloqué :/.
Calcul d'intégrale.
Re: Calcul d'intégrale.
Bonjour
Il faut poursuivre les calculs jusqu'au bout pour obtenir un nombre.
1) Je termine : $[xe^x-e^x]_0^1=(e^1-e^1)-(-e^0)=1$
2) Une faute à la fin. $[\frac{1}{2} x\sin (2x)]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\frac{1}{2} \sin (2x) dx =[\frac{1}{2} x\sin (2x)+\frac{1}{4} \cos (2x)]_0^{\pi}=(0+\frac{1}{4})-(0+\frac{1}{4})=0$
3) Pour terminer, on utilise le calcul précédent.
$[-\frac{1}{2} x^2 \cos (2x)]_0^{\pi }+\int_à^{\pi} x\cos (2x) dx = (-\frac{1}{2} \pi ^2+0)+0=-\frac{1}{2} \pi^2$
4) Attention : si $t=e^x$ alors $x=\ln t$ donc $dx =\frac{1}{t} dt$
$\int_0^1 \frac{2e^x}{e^{2x}+1} dx =\int_1^{e}\frac{2t}{t^2+1} \times \frac{1}{t} dt =2\int_1^{e}\frac{dt}{t^2+1} =2[\arctan\ t]_1^{e}=2(\arctan\ e -\frac{\pi}{4})=2 \arctan\ e -\frac{\pi}{2}$
5) $t=\ln x$ donc $x=e^t$ et $dx =e^t dt$
$\int_1^{e} \frac{(\ln x)^n}{x} dx =\int_0^1\frac{t^n}{e^t} e^t dt =\int_0^1 t^n dt=[\frac{1}{n+1} t^{n+1}]_0^1=\frac{1}{n+1}$
Il faut poursuivre les calculs jusqu'au bout pour obtenir un nombre.
1) Je termine : $[xe^x-e^x]_0^1=(e^1-e^1)-(-e^0)=1$
2) Une faute à la fin. $[\frac{1}{2} x\sin (2x)]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\frac{1}{2} \sin (2x) dx =[\frac{1}{2} x\sin (2x)+\frac{1}{4} \cos (2x)]_0^{\pi}=(0+\frac{1}{4})-(0+\frac{1}{4})=0$
3) Pour terminer, on utilise le calcul précédent.
$[-\frac{1}{2} x^2 \cos (2x)]_0^{\pi }+\int_à^{\pi} x\cos (2x) dx = (-\frac{1}{2} \pi ^2+0)+0=-\frac{1}{2} \pi^2$
4) Attention : si $t=e^x$ alors $x=\ln t$ donc $dx =\frac{1}{t} dt$
$\int_0^1 \frac{2e^x}{e^{2x}+1} dx =\int_1^{e}\frac{2t}{t^2+1} \times \frac{1}{t} dt =2\int_1^{e}\frac{dt}{t^2+1} =2[\arctan\ t]_1^{e}=2(\arctan\ e -\frac{\pi}{4})=2 \arctan\ e -\frac{\pi}{2}$
5) $t=\ln x$ donc $x=e^t$ et $dx =e^t dt$
$\int_1^{e} \frac{(\ln x)^n}{x} dx =\int_0^1\frac{t^n}{e^t} e^t dt =\int_0^1 t^n dt=[\frac{1}{n+1} t^{n+1}]_0^1=\frac{1}{n+1}$