Bonjour!
J'ai dans un corrigé l'expression "ln(x)=o(1/sqrt(x)) au voisinage de 0"
Comment trouve t-on cette expression? Comment l'interpréter?
ln(x) au voisinage de 0
Re: ln(x) au voisinage de 0
Bonjour
Il suffit d'appliquer la définition : Si $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$ (c'est-à-dire que $g$ peut s'annuler en $a$ mais pas sur tout un intervalle contenant $a$)
$f(x)=o (g(x)) $ au voisinage de $a$, lorsque $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
Dans le cas de l'exemple, $\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt x}}=(\sqrt x )(\ln x)$ et $\lim_{x\to 0} (\sqrt x)(\ln x) =0$ donc au voisinage de 0, $\ln x =o(\sqrt x)$
Il suffit d'appliquer la définition : Si $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$ (c'est-à-dire que $g$ peut s'annuler en $a$ mais pas sur tout un intervalle contenant $a$)
$f(x)=o (g(x)) $ au voisinage de $a$, lorsque $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
Dans le cas de l'exemple, $\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt x}}=(\sqrt x )(\ln x)$ et $\lim_{x\to 0} (\sqrt x)(\ln x) =0$ donc au voisinage de 0, $\ln x =o(\sqrt x)$
Re: ln(x) au voisinage de 0
OK, j'ai bien compris, merci....
Mais si on demande brutalement un o() de ln(x), comment, à priori, penser à sqrt(x) ?
Mais si on demande brutalement un o() de ln(x), comment, à priori, penser à sqrt(x) ?
Re: ln(x) au voisinage de 0
Ce n'est pas la seule possibilité. Toute fonction $g$ qui vérifie $\lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{g(x)}=0$ est telle que $f(x)=o (g(x))$ en 0.
Le choix dépend du contexte.
Le choix dépend du contexte.
Re: ln(x) au voisinage de 0
OK, merci beaucoup!