Bonjour!
Dans la 1ère partie de mon exo, je dois étudier sur R*+ la fonction f(x)=ln(x)/(1+x²), ce qui se fait sans difficulté.
Dans la 2ème partie, je dois étudier sur R*+ la fonction F(x)=Intégrale de 1 à x [f(t)dt)]. Par IPP j'ai trouvé:
F(x)=Arctan(x)*ln(x)-Intégrale de 1 à x[u(t)dt] avec u(t)=(Arctan(x))/x.
J'en ai déduit que F admet une limite en 0 égale à somme de 0 à 1 de u(t)dt ce qui permet de prolonger F en 0.
Ensuite, on se propose de calculer la valeur approchée de F(0)=Intégrale de 0 à 1 de u(t)dt.
Pour cela on me demande de calculer Ik(x)=Intégrale de 1 à x [t^k*ln(t).dt]. Par IPP j'ai trouvé:
Ik(x)=x^(k+1)/(k+1)*ln(x)-(x^(k+1)-1)/(k+1)^2 dont la limite en x=0 est 1/(k+1)².
On me demande ensuite, et c'est là que je cale, de démontrer que pour tout entier naturel n et pour tout t de R*+:
1/(1+t²)=somme de k=0 à k=n [(-1)^k*t^2k+(-1)^(n+1)*t^(2n+2)/(1+t²) ...????
Merci d'avance pour votre aide!
Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Bonjour
$\sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k}$ est la somme de $n+1$ termes d'une suite géométrique de raison $(-t^2)$ donc
$\sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k}=\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}$
D'autre part $(-1)^{n+1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}=\frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}$
En faisant la somme des 2 expressions, on obtient bien : $\frac{1}{1+t^2}$
Je n'ai pas vérifié les autres calculs.
$\sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k}$ est la somme de $n+1$ termes d'une suite géométrique de raison $(-t^2)$ donc
$\sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k}=\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}$
D'autre part $(-1)^{n+1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}=\frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}$
En faisant la somme des 2 expressions, on obtient bien : $\frac{1}{1+t^2}$
Je n'ai pas vérifié les autres calculs.
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
En effet, le deuxième terme n'est pas sous le signe somme....
On demande ensuite de montrer que pour tout n appartenant à N et pour tout x appartenant à ]0,1[ on a:
F(x)=somme de k=0 à n {(-1)^k*I2k(x)} + (-1)^n*Intégrale de 1 à x {t^(2n+2)/(1+t²)dt}
On demande ensuite de montrer que pour tout n appartenant à N et pour tout x appartenant à ]0,1[ on a:
F(x)=somme de k=0 à n {(-1)^k*I2k(x)} + (-1)^n*Intégrale de 1 à x {t^(2n+2)/(1+t²)dt}
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Je ne comprends pas ce que représente " I2k(x) ". Que signifie la barre verticale et le 2 ?
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Désolé pour cette écriture ambiguë...mais je ne maîtrise pas le latex....
C'est un i majuscule avec k en indice. Dans la 1ère partie on défini I_k(x) =Intégrale de 1 à x{t^k*ln(t).dt}.
Par IPP, j'ai trouvé que I_k(x)=x^(k+1)/(k+1)*ln(x)-(x^(k+1)-1)/(k+1)^2 dont la limite quand x tend vers 0 est 1/(k+1)².
Donc I2k(x) c'est I_2k(x) (i indice 2k de x...)
C'est un i majuscule avec k en indice. Dans la 1ère partie on défini I_k(x) =Intégrale de 1 à x{t^k*ln(t).dt}.
Par IPP, j'ai trouvé que I_k(x)=x^(k+1)/(k+1)*ln(x)-(x^(k+1)-1)/(k+1)^2 dont la limite quand x tend vers 0 est 1/(k+1)².
Donc I2k(x) c'est I_2k(x) (i indice 2k de x...)
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
$I_{2k}(x)=\int_1^x t^{2k}\ln t dt$
$\sum_{k=0}^n (-1)^k I_{2k}(x)=\int_1^x (\sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k}\ln t)dt =\int_1^x [\ln t (\sum_{k=0}^n (-t^2)^k)]dt$
$=\int_1^x \ln t \frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2} dt=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t^2} dt +\int_1^x \frac{(-1)^n t^{2n+2}\ln t}{1+t^2} dt$
Mais je n'arrive pas à la conclusion demandée : 2 problèmes : un problème de signe et la présence du $\ln t$ dans la deuxième intégrale. Pouvez-vous vérifier le texte ? Ou bien voyez-vous une erreur dans mon calcul ?
$\sum_{k=0}^n (-1)^k I_{2k}(x)=\int_1^x (\sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k}\ln t)dt =\int_1^x [\ln t (\sum_{k=0}^n (-t^2)^k)]dt$
$=\int_1^x \ln t \frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2} dt=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t^2} dt +\int_1^x \frac{(-1)^n t^{2n+2}\ln t}{1+t^2} dt$
Mais je n'arrive pas à la conclusion demandée : 2 problèmes : un problème de signe et la présence du $\ln t$ dans la deuxième intégrale. Pouvez-vous vérifier le texte ? Ou bien voyez-vous une erreur dans mon calcul ?
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Bonjour!
J'ai essayé d'avancer et comme vous, je pense qu'il manque un ln(t) dans le 2ème terme ?
J'aurais confirmation dans la semaine, et je vous recontacte.
Merci!
J'ai essayé d'avancer et comme vous, je pense qu'il manque un ln(t) dans le 2ème terme ?
J'aurais confirmation dans la semaine, et je vous recontacte.
Merci!
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Dans la partie suivante, on décide de choisir comme valeur approchée de F(0): u_n=somme de k=0 à n {(-1)^k/(2k+1)²}
Cette série converge t-elle?
Wolframalpha m'indique que cette série converge vers une constante C=0.9159... Comment le démontrer?
Qu'est ce que cette constante C?
Cette série converge t-elle?
Wolframalpha m'indique que cette série converge vers une constante C=0.9159... Comment le démontrer?
Qu'est ce que cette constante C?
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Il s'agit d'une série alternée.
La suite $\frac{1}{(2k+1)^2}$ est une suite décroissante qui converge vers 0.
Par conséquent la série converge par le critère spécial des séries alternées.
Je ne pense pas que dans cette question on vous demande de calculer la somme de la série.
La suite $\frac{1}{(2k+1)^2}$ est une suite décroissante qui converge vers 0.
Par conséquent la série converge par le critère spécial des séries alternées.
Je ne pense pas que dans cette question on vous demande de calculer la somme de la série.
Re: Etude de f(x)=ln(x)/(1+x²)
Bonjour!
Merci pour votre réponse!
En effet, on ne me demande pas de calculer la somme...c'était juste par curiosité car je n'ai jamais rencontré cette constante C!
Merci pour votre réponse!
En effet, on ne me demande pas de calculer la somme...c'était juste par curiosité car je n'ai jamais rencontré cette constante C!