projection de matrices

[noir d'encre]

Bonsoir,
je n'arrive pas à résoudre cet exercice,
Soit $E=M_2 (R^2) $, on pose $(C|B)=Tr(^t(C).B) $
Calculer le projeté de la matrice $F=\begin{pmatrix}1&0\\ 
-1&2\\ 
\end{pmatrix}$ sur $T_2^+(R) $ En deduire la distance $d(F, T_2^2 (R))$
si vous pouviez m'aider merci

[Job]

Bonjour

Que désigne exactement $T_2^+(\mathbb R)$ ?

[noir d'encre]

Ce sont des matrices triangulaires

[Job]

Pourquoi le "+" ?

[noir d'encre]

Ah je ne sais pas, je sais juste que je dois utiliser cette base
\\
\begin{pmatrix}1&0\\ 
0&0\\ 
\end{pmatrix}$,
\begin{pmatrix}0&1\\ 
0&0\\ 
\end{pmatrix}$,
\begin{pmatrix}0&0\\ 
1&0\\ 
\end{pmatrix}$
,\begin{pmatrix}0&0\\ 
0&1\\ 
\end{pmatrix}$ est une BON de $M_n(R) $

[JPB]

$T_2^+({\mathbb R})$ doit sans doute désigner le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures.

[Job]

Soit $G$ la matrice projeté de $F$ sur $T_2^+({\mathbb R})$ le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures.
$G$ est une matrice triangulaire supérieure donc de la forme $\left(\begin{matrix}a & b \\ 0 & c\end{matrix}\right)$

$G$ la matrice projeté orthogonal de $F$ sur $T_2^+({\mathbb R})$ si et seulement si $F-G$ est orthogonal à $T_2^+({\mathbb R})$ ce qui est réalisé si et seulement si $F-G$ est orthogonal à une base de $T_2^+({\mathbb R})$.

$T_2^+({\mathbb R})$ a comme base la famille des 3 matrices $M_1=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)$ ; $M_2=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)$ ; $M_3=\left(\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)$

$F-G=\left(\begin{matrix}1-a & -b \\ -1 & 2-c\end{matrix}\right)$

$(M_2|F-G)=Tr[\left(\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}1-a & -b \\ -1 & 2-c\end{matrix}\right)]= Tr[\left(\begin{matrix}0 & 0 \\ 1-a & -b\end{matrix}\right)]=-b$
Donc $(M_2|F-G)=0$ si et seulement si $b=0$

On obtient de même $(M_1|F-G)=0$ si et seulement si $1-a=0$ soit $a=1$ et $(M_3|F-G)=0$ si et seulement si $2-c=0$ soit $c=2$

$G=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{matrix}\right)$

La distance de $F$ à $T_2^+({\mathbb R})$ est égale à $\sqrt{(F-G|F-G)}$
$(F-G|F-G)=Tr[\left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0\end{matrix}\right)]=Tr[ \left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)]=1$
Donc la distance est égale à 1.

[noir d'encre]

Bonsoir,
merci beaucoup