Produit infini et nombres premiers

[jinmu]

Bonjour,

Soit $n_0 \in \mathbb{N}^*$, on note $q_{n_1}$ le plus grand entier premier parmi les diviseurs premiers des entiers $2, \cdots, n_0$. On considère l'ensemble $F = \lbrace q_k, k \leq n_1 \rbrace$, et l'ensemble $D(F)$ l'ensemble des entiers naturels non nuls dont tous les diviseurs premiers appartiennent à F.

On a : $\Pi_{p \in F}\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \sum_{n \in D(F)} \frac{1}{n}$

Montrer que si le produit infini $\Pi_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{q_n}}$ existe et est de valeur non nulle, alors :

$\sum_{n = 2}^{n_0} \frac{1}{n} < \Pi_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{q_n}}$

Je remarque que $\Pi_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{q_n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Soit $N \in \mathbb{N}$, Je remarque aussi que la suite $\Pi_{k = 1}^{N}\frac{1}{1 - \frac{1}{q_n}}$ est croissante.

Donc :

$\Pi_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{1 - \frac{1}{q_n}} \geq \Pi_{k = 1}^{n_1}\frac{1}{1 - \frac{1}{q_n}} = \sum_{n \in D(F)}\frac{1}{n}$

Ensuite je serai tenté de dire que $\sum_{n \in D(F)} \frac{1}{n} = \sum_{n = 2}^{n_0}\frac{1}{n}$, mais je ne suis pas certain de cela et je n'arrive pas à le justifier rigoureusement.

Une aide? Merci.

[JPB]

Vos définitions ne sont pas très claires, je ne vois notamment pas ce que vient faire l'entier $n_1$ ici. Ne s'agit-il pas de $n_0$ ? De plus, j'ai l'impression que $q$ désigne plus simplement le plus grand des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n_0$ mais auquel cas $F$ ne serait que l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n_0$ (ou $n_1$ ?). Mais cela me parait une façon alambiquée de le dire…

Cela dit, votre point de départ n'est de toute façon pas correct, car vous ne pouvez considérer la somme $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n$, qui est une série divergente.