Bonjour,
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $P_n = \Pi_{k = 1}^n u_k$ avec $u_k > 0$. On pose $u_n = 1 + \alpha_n$,
On suppose que la suite $P_n$ converge vers une limite non nulle. On suppose que la série $\sum \alpha_n$ converge. Montrer que les séries $\sum \alpha_n$ et $\sum \alpha_n^2$ sont de même nature.
Comme la série $\sum \alpha_n$ converge, alors $\alpha_n$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
On a alors : $ln(1 + \alpha_n) = \alpha_n - \frac{\alpha_n^2}{2} + o(\alpha_n^2)$
Je dis ensuite que si $\sum \alpha_n^2$ diverge vers $+ \infty$, la série $\sum ln(1 + \alpha_n)$ tend vers $- \infty$, et $P_n$ tend alors vers 0 ce qui est exclu. Donc la série $\sum \alpha_n^2$ ne peut que converger.
Donc les séries $\sum \alpha_n$ et $\sum \alpha_n^2$ sont de même nature.
Cela vous paraît-il juste?
Merci.
Produit infini
Re: Produit infini
Votre démarche est critiquable car rien n'empêche a priori le terme en $o(\alpha_n^2)$ d'être lui aussi le terme général d'une série divergente, et l'absence de connaissance sur le comportement des sommes partielles vous empêche de conclure quant à la limite de $P_n$.
En fait, la réponse est beaucoup plus simple et ne dépend pas de la nature de la suite $(P_n)$ :
Puisque $u_n>0$, on a aussi $\alpha_n>0$. Par ailleurs, $\sum \alpha_n$ converge donc $\lim\alpha_n=0$. Ceci permet d'en déduire que $\alpha_n^2=o(\alpha_n)$, et le théorème de comparaison des séries à terme général positif affirme alors la convergence de la série $\sum\alpha_n^2$.
En fait, la réponse est beaucoup plus simple et ne dépend pas de la nature de la suite $(P_n)$ :
Puisque $u_n>0$, on a aussi $\alpha_n>0$. Par ailleurs, $\sum \alpha_n$ converge donc $\lim\alpha_n=0$. Ceci permet d'en déduire que $\alpha_n^2=o(\alpha_n)$, et le théorème de comparaison des séries à terme général positif affirme alors la convergence de la série $\sum\alpha_n^2$.
Re: Produit infini
Merci pour vos deux réponses 
.
Il me reste question : Pourquoi le fait que $u_n > 0$ permet d'affirmer que $\alpha_n > 0$? Ne peut-on pas avoir par exemple $\alpha_1 = - \frac{1}{2}$ ce qui donne $u_1 = \frac{1}{2} > 0$?
. Il me reste question : Pourquoi le fait que $u_n > 0$ permet d'affirmer que $\alpha_n > 0$? Ne peut-on pas avoir par exemple $\alpha_1 = - \frac{1}{2}$ ce qui donne $u_1 = \frac{1}{2} > 0$?
Re: Produit infini
Toutes mes excuses, $\alpha_n$ n'est pas positif, j'ai lu trop vite. Du coup mon raisonnement s'effondre, et on a bien besoin de la convergence vers $\ell\ne0$ de la suite $(P_n)$.
Il faut partir de l'équivalence : $a_n^2\sim2\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$. Ces deux termes sont positifs donc le théorème d'équivalence s'applique : la série $\sum \alpha_n^2$ a même nature que $\sum\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$.
Or $\sum\alpha_n$ converge par hypothèse, et $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge car la suite de ses sommes partielles n'est autre que la suite $\ln(P_n)$, qui converge vers $\ln(\ell)$. La somme de deux séries convergentes converge, donc $\sum\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$ converge.
Il faut partir de l'équivalence : $a_n^2\sim2\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$. Ces deux termes sont positifs donc le théorème d'équivalence s'applique : la série $\sum \alpha_n^2$ a même nature que $\sum\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$.
Or $\sum\alpha_n$ converge par hypothèse, et $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge car la suite de ses sommes partielles n'est autre que la suite $\ln(P_n)$, qui converge vers $\ln(\ell)$. La somme de deux séries convergentes converge, donc $\sum\bigl(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n)\bigr)$ converge.
Re: Produit infini
Merci encore JPB.
Il me reste deux questions.
1) Si on avait supposé la série $\sum \alpha_n$ divergente et le produit $\Pi_{k = 1}^n (1 + \alpha_k)$ convergent (je ne suis pas sûr que ce cas puisse se produire), peut-on dire avec l'équivalence $\alpha_n^2 \sim 2 (\alpha_n - ln(1 + \alpha_n))$ que la série $\sum \alpha_n^2$ diverge, du fait de la divergence de la série $\sum \alpha_n$?
2) Si je repars d'un développement limité $ln(1 + \alpha_n) = \alpha_n - \frac{\alpha_n^2}{2} + o (\alpha_n^2) = \alpha_n - b_n$ avec $b_n \sim \frac{\alpha_n^2}{2}$ et que je suppose la série $\sum \alpha_n$ convergente, est-ce que je peux dire que la série $\sum ln(1 + \alpha_n)$ converge si la série $\sum \alpha_n^2$ converge (car alors la série $\sum b_n$ converge par le critère des équivalents des séries à termes positifs), et diverge vers $- \infty$ si la série $\sum \alpha_n^2$ diverge vers $+ \infty$ (car alors la série $\sum b_n$ diverge vers $+ \infty$ par le critère des équivalents des séries à termes positifs).
Il me reste deux questions.
1) Si on avait supposé la série $\sum \alpha_n$ divergente et le produit $\Pi_{k = 1}^n (1 + \alpha_k)$ convergent (je ne suis pas sûr que ce cas puisse se produire), peut-on dire avec l'équivalence $\alpha_n^2 \sim 2 (\alpha_n - ln(1 + \alpha_n))$ que la série $\sum \alpha_n^2$ diverge, du fait de la divergence de la série $\sum \alpha_n$?
2) Si je repars d'un développement limité $ln(1 + \alpha_n) = \alpha_n - \frac{\alpha_n^2}{2} + o (\alpha_n^2) = \alpha_n - b_n$ avec $b_n \sim \frac{\alpha_n^2}{2}$ et que je suppose la série $\sum \alpha_n$ convergente, est-ce que je peux dire que la série $\sum ln(1 + \alpha_n)$ converge si la série $\sum \alpha_n^2$ converge (car alors la série $\sum b_n$ converge par le critère des équivalents des séries à termes positifs), et diverge vers $- \infty$ si la série $\sum \alpha_n^2$ diverge vers $+ \infty$ (car alors la série $\sum b_n$ diverge vers $+ \infty$ par le critère des équivalents des séries à termes positifs).
Re: Produit infini
1) Deux cas sont possibles lorsque la suite $(P_n)$ converge vers une limite $\ell$ :
— si $\ell\ne0$, alors la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge. Dans ce cas, le terme général de cette série tend vers 0 et donc $\lim\alpha_n=0$. Ceci permet d'exploiter l'équivalent $\alpha_n^2\sim2(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n))$. Puisque la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge, la série $\sum(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n))$ a même nature que la série $\sum\alpha_n$ et grâce à l'équivalent on en déduit que les séries $\sum\alpha_n^2$ et $\sum\alpha_n$ ont même nature.
— si $\ell=0$, alors la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ diverge vers $-\infty$. Nous n'avons plus alors aucune garantie que la suite $(\alpha_n)$ tende vers 0, et l'équivalent n'a donc plus de raison d'être. Et même avec l'hypothèse $\lim\alpha_n=0$ les séries $\sum\alpha_n$ st $\sum\alpha_n^2$ peuvent avoir une nature différente :
Lorsque $\alpha=-\frac1n$, on a $\lim P_n=0$, $\sum\alpha_n$ diverge et $\sum\alpha_n^2$ converge.
Lorsque $\alpha=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$, on a $\lim P_n=0$ (ce n'est pas immédiat mais c'est vrai), $\sum\alpha_n$ converge et $\sum\alpha_n^2$ diverge.
Il reste une question en suspend : lorsque $\ell\ne0$, se peut-il que les séries $\sum\alpha_n$ et $\sum\alpha_n^2$ divergent ? La réponse est positive, mais les exemples de ce cas de figure ne sont pas faciles à trouver. J''ai fini par en bâtir un :
\[\alpha_{2n}=\frac1{\sqrt n}+\frac1n\qquad\hbox{et}\qquad \alpha_{2n+1}=\frac{-1}{\sqrt n}\]
La convergence de la suite $(P_n)$ résulte de l'identité : $(1+\alpha_{2n})(1+\alpha_{2n+1})=1-\frac1{n\sqrt n}$ et du fait que $\sum\ln(1-\frac1{n\sqrt n})$ converge.
La divergence de $\sum \alpha_n$ résulte de l'identité $\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}=\frac1n$.
La divergence de $\sum\alpha_n^2$ résulte de ce qu'on a démontré au début, ou plus simplement de l'équivalence $\alpha_n^2\sim\frac2n$.
2) Votre raisonnement est tout à fait correct : lorsque trois suites sont liés par une relation linéaire, par exemple $u_n=v_n+w_n$ et que l'une d'entre-elles est le terme général d'une série convergente, la nature des deux autres séries est identique (cela résulte du fait que la somme de deux séries convergentes est convergente).
— si $\ell\ne0$, alors la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge. Dans ce cas, le terme général de cette série tend vers 0 et donc $\lim\alpha_n=0$. Ceci permet d'exploiter l'équivalent $\alpha_n^2\sim2(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n))$. Puisque la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ converge, la série $\sum(\alpha_n-\ln(1+\alpha_n))$ a même nature que la série $\sum\alpha_n$ et grâce à l'équivalent on en déduit que les séries $\sum\alpha_n^2$ et $\sum\alpha_n$ ont même nature.
— si $\ell=0$, alors la série $\sum\ln(1+\alpha_n)$ diverge vers $-\infty$. Nous n'avons plus alors aucune garantie que la suite $(\alpha_n)$ tende vers 0, et l'équivalent n'a donc plus de raison d'être. Et même avec l'hypothèse $\lim\alpha_n=0$ les séries $\sum\alpha_n$ st $\sum\alpha_n^2$ peuvent avoir une nature différente :
Lorsque $\alpha=-\frac1n$, on a $\lim P_n=0$, $\sum\alpha_n$ diverge et $\sum\alpha_n^2$ converge.
Lorsque $\alpha=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$, on a $\lim P_n=0$ (ce n'est pas immédiat mais c'est vrai), $\sum\alpha_n$ converge et $\sum\alpha_n^2$ diverge.
Il reste une question en suspend : lorsque $\ell\ne0$, se peut-il que les séries $\sum\alpha_n$ et $\sum\alpha_n^2$ divergent ? La réponse est positive, mais les exemples de ce cas de figure ne sont pas faciles à trouver. J''ai fini par en bâtir un :
\[\alpha_{2n}=\frac1{\sqrt n}+\frac1n\qquad\hbox{et}\qquad \alpha_{2n+1}=\frac{-1}{\sqrt n}\]
La convergence de la suite $(P_n)$ résulte de l'identité : $(1+\alpha_{2n})(1+\alpha_{2n+1})=1-\frac1{n\sqrt n}$ et du fait que $\sum\ln(1-\frac1{n\sqrt n})$ converge.
La divergence de $\sum \alpha_n$ résulte de l'identité $\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}=\frac1n$.
La divergence de $\sum\alpha_n^2$ résulte de ce qu'on a démontré au début, ou plus simplement de l'équivalence $\alpha_n^2\sim\frac2n$.
2) Votre raisonnement est tout à fait correct : lorsque trois suites sont liés par une relation linéaire, par exemple $u_n=v_n+w_n$ et que l'une d'entre-elles est le terme général d'une série convergente, la nature des deux autres séries est identique (cela résulte du fait que la somme de deux séries convergentes est convergente).
Re: Produit infini
Merci encore JPB