Séries et nombres premiers

[jinmu]

Salut,

Soit p et q deux entiers premiers supérieurs ou égaux à 2. On pose pour tout entier naturel n : $C_n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{p^k} \frac{1}{q^{n - k}}$.

J'ai montré que la série $\sum C_n$ est convergente, et que $\sum_{n = 0}^{\infty} C_n = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{p^n} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{q^n}$

On note $D(p,q)$ l'ensemble des entiers $n$ non nuls tels que $n$ n'admet que p et q comme facteurs premiers.

Montrer que $\sum_{n \in D(p,q)} \frac{1}{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} \frac{1}{1 - \frac{1}{q}}$.

Soient i et j deux entiers naturels et $n \in D(p,q)$, on a :

$n = p^i q^j$

Donc $\frac{1}{n} = \frac{1}{p^i}\frac{1}{p^j}$

J'en déduis que :

$\sum_{n \in D(p,q)} \frac{1}{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty}\frac{1}{p^i}\frac{1}{q^j}$

L'énoncé demande ensuite d'admettre que : $\sum_{n = 0}^{\infty} C_n = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty}\frac{1}{p^i}\frac{1}{q^j}$.

J'en déduis alors que $\sum_{n \in D(p,q)} \frac{1}{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} C_n = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{p^n} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{q^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} \frac{1}{1 - \frac{1}{q}} $

Cela vous semble-t-il juste? Merci.

[Job]

Bonjour

Oui, cela me semble juste.

[jinmu]

Merci Job