Maximum et limites

[jinmu]

Salut,

Soit $h$ une fonction continue sur $I = ]a,b[$ intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[0,1]$.

Pour tous réels x et y dans I tels que $x < y$ on pose $M(x,y) = max_{t \in [x,y]}h(t)$ et $m(x,y) = min_{t \in [x,y]} h(t)$.

1) Soit x dans I. Justifier que pour y dans l'intervalle $]x,b[$, il existe $\alpha_y$ dans l'intervalle $[x,y]$ tel que $M(x,y) = h(\alpha_y)$

J'utilise ici le fait que $h$ est continue sur $[x,y]$ compact de $\mathbb{R}$. Donc, le maximum de h est atteint sur $[x,y]$, et il existe $\alpha_y \in [x,y]$ tel que $h(\alpha_y) = M(x,y)$.

2) En déduire que $lim_{y \rightarrow x \\ \\ y > x} M(x,y) = h(x)$ (limite de M(x,y) lorsque y tend vers x par valeurs supérieures x)

D'après la question précédente, il existe $\alpha_y \in [x,y]$ tel que $h(\alpha_y) = M(x,y)$ . Ensuite, je bloque. Je n'arrive pas à justifier rigoureusement le passage à la limite.

Avez-vous une piste? Merci d'avance.\\

[JPB]

Votre point de départ est le bon, il s'agit maintenant d'écrire la définition de la continuité de $h$ en $x$ :
\[\forall \epsilon>0,\quad \exists \eta>0 \bigm| |t-x|\leq\eta\Longrightarrow|h(t)-h(x)|\leq\epsilon.\]
Considérons $y\in[x,x+\eta]$. Puisque $\alpha_{y}\in[x,y]$, on a aussi $x\leq\alpha_{y}\leq x+\eta$, ce qui permet d'appliquer le résultat ci-dessus :
\[|h(\alpha_{y})-h(x)|\leq\epsilon.\]
Si on récapitule, nous avons prouvé que pour tout $\epsilon>0$ il existe $\eta>0$ tel que $y\in[x,x+\eta]\Longrightarrow|M(x,y)-h(x)|\leq\epsilon$, ce qui est la traduction formelle du résultat demandé : $\lim\limits_{y\to x,\ y>x}M(x,y)=h(x)$.

[jinmu]

Merci JPB