suites recurrentes doubles avec matrice

[noir d'encre]

Bonsoir,
j'aimerai avoir la correction de cet ex en ds svp:
$K=R ou C$ on fixe $(a, b)\in K^2$ , une suite $u \in K^N$ vérifiant $\forall n\in N, u_{n+2}=a.u_{n+1}+b.u_n$
$(Car): r^2=a.r+b$ avec $r \in K$
$f:R^2 \rightarrow R^2$
$(x, y) \mapsto (a.x+by, x) $
Cas où l'équation caractéristique admet une seule racine $r_0$
1 . Vérifier que $r_0= \frac{a}{2} $ et montrer que $c= \begin{pmatrix}a&\frac{-a^2}{4}\\ 
1&0\\ 
\end{pmatrix}$
2 . déterminer $(x, y) \in R^2$ tq $(x, y) \ne (0,0) $ et $c× \begin{pmatrix}x\\ 
y\\ 
\end{pmatrix} = r_0.\begin{pmatrix}x\\ 
y\\ 
\end{pmatrix}$
3. On conserve $(x,y) $ de la question précédente. Déterminer $(x',y') \in R^2$ tq $(x',y') \ne (0,0) $ et $c×\begin{pmatrix}x'\\ 
y'\\ 
\end{pmatrix}$ =$r_0.\begin{pmatrix}x'\\ 
y'\\ 
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x\\ 
y\\ 
\end{pmatrix}$
dans la suite , on note $\overrightarrow u =(x,y) $ et $\overrightarrow v =(x',y') $ les vecteurs trouvés.
4. Comment se traduisent les égalités des deux questions précédentes concernant $f(\overrightarrow u) $ et $f(\overrightarrow v) $?
5. Vérifier que $(\overrightarrow u,\overrightarrow v) $ est une base de $R^2$
6. Vérifier que $Mat_{(\overrightarrow u, \overrightarrow v)} (f)= \begin{pmatrix}r_0&1\\ 
0&r_0\\ 
\end{pmatrix}$
7. Pour tout $n \in N$, calculer $\begin{pmatrix}r_0&1\\ 
0&r_0\\ 
\end{pmatrix}^n$
on pose maintenant P la matrice de passage de la base canonique vers $(\overrightarrow u, \overrightarrow v)$
8. Démontrer que $\forall n \in N$ :
$\begin{pmatrix}u_{n+1}\\ 
u_n\\ 
\end{pmatrix}=P.\begin{pmatrix}r_0^n&n.r_0^{n-1}\\ 
0&r_0^n\\ 
\end{pmatrix}.P^{-1}.\begin{pmatrix}u_1\\ 
u_0\\ 
\end{pmatrix}$
9. Calculer $P$ et$ P^{-1}$
d'avance merci

[Job]

Bonjour

1. L'équation $r^2-ar-b=0$ admet une racine double $a^2+4b=0$ et cette racine double est égale à $-\frac{a}{2}$.
Par définition de $f$ l'image d'un vecteur $(x,y)$ peut s'écrire : $\left(\begin{matrix}a&b \\ 1&0 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right)$
Or $a^2+4b=0$ donc on peut remplacer $b$ par $-\frac{a^2}{4}$

2. On peut également écrire $c=\left(\begin{matrix}2r_0 & -r_0^2 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)$
L'égalité équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl}2r_0x-r_0^2y&=&r_0x \\ x &=& r_0y\end{array}\right.$ ce qui équivaut à $x=r_0y$.
Les vecteurs répondant à la question sont les vecteurs non nuls de la droite vectorielle engendrée par $\vec u = (r_0, 1)$

3. Avec le vecteur $\vec u$ précédent, l'égalité équivaut à :
$\left\{\begin{array}{rcl}2r_0x'-r_0^2y' &=& r_0x'+r_0 \\ x' &=& r_0y'+1\end{array}\right.$ ce qui équivaut à $x'=r_0y'+1$
On peut prendre $\vec v =(x',y')=(r_0+1 , 1)$

4. L'égalité de la question 2. se traduit par $f(\vec u)=r_0\vec u$ et l'égalité de la question 3. se traduit par $f(\vec v)=r_0\vec v +\vec u$.

5. Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ont la même seconde coordonnée mais leurs premières coordonnées sont différentes, ils ne sont donc pas colinéaires.
$(\vec u , \vec v)$ est donc une famille libre de 2 éléments dans un espace vectoriel de dimension 2 donc une base.

6. La première colonne de la matrice $M$ est constituée des coordonnées de $f(\vec u)=r_0\vec u$ dans la base $(\vec u , \vec v)$ soit $\left(\begin{matrix}r_0 \\ 0\end{matrix}\right)$ et la seconde colonne des coordonnées de $f(\vec v)=\vec u +r_0\vec v$ dans la base $(\vec u , \vec v)$ soit $\left(\begin{matrix}1 \\ r_0\end{matrix}\right)$.

7. Le calcul des premières puissances suggèrent : $M^n=\left(\begin{matrix}r_0^n & n\cdot r_0^{n-1} \\ 0 & r_0^n\end{matrix}\right)$ ce que l'on démontre par récurrence.
L'égalité est vérifiée pour $n=0$
On suppose l'égalité vérifiée au rang $n$.
$M^{n+1}= M^n \cdot M =\left(\begin{matrix} r_0^{n+1} & r_0^n +nr_0^{n-1} r_0 \\ 0 & r_0^{n+1}\end{matrix} \right) =\left(\begin{matrix}r_0^{n+1} & (n+1)r_0^n \\ 0 & r_0^{n+1}\end{matrix}\right)$
L'égalité est donc vérifiée au rang $(n+1)$.

8. Par définition : $\left(\begin{matrix} u_{n+1} \\ u_n \end{matrix}\right)= c \left(\begin{matrix} u_n \\ u_{n-1}\end{matrix}\right)=c^n\left(\begin{matrix} u_1 \\ u_0 \end{matrix}\right) $
$M=P^{-1}cP$ soit $c=PMP^{-1}$
Puisque $PP^{-1}=P^{-1}P=Id$, $c^n=PMP^{-1}PMP^{-1} \cdots PMP^{-1} =PM^nP^{-1}=P\left(\begin{matrix}r_0^n & n\cdot r_0^{n-1} \\ 0 & r_0^n\end{matrix}\right)P^{-1}$ d'où la conclusion demandée.

9. $P$ est formée des coordonnées de $(\vec u, \vec v)$ dans la base canonique . $P=\left(\begin{matrix}r_0 & r_0+1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right)$

On inverse le système $\left\{\begin{array}{rcl}\vec u &=&r_0\vec{e_1}+\vec{e_2} \\ \vec v&=&(r_0+1)\vec{e_1} +\vec{e_2}\end{array}\right.$
Soit $\left\{\begin{array}{rcl} \vec{e_1}&=&\vec v -\vec u \\ \vec{e_2}&=& (1+r_0)\vec u -r_0\vec v\end{array}\right.$ donc $P^{-1}=\left(\begin{matrix}-1 & 1+r_0 \\ 1& -r_0\end{matrix}\right)$

N.B. J'ai utilisé $r_0$ mais tout peut être écrit en fonction de $a$ puisque $r_0=\frac{a}{2}$

[noir d'encre]

Bonsoir,
d'accord merci beaucoup