matrice semi-magique

[noir d'encre]

Bonsoir,
je n'arrive pas à répondre à ces questions :
Fixons $n \in {N^*} $. Une matrice $a\in {M_n}(K) $ est dite semi-magique lorsque la somme des coefficients dans n'importe quelle ligne ou colonne donne toujours le même résultat. $\exists s \in K tq \forall i \in [1,n], \sum_{j=1}^n a_{i, j}=s$
$\forall j \in [1,n], \sum_{i=1}^n a_{i, j}=s$
lorsque a est semi-magique, le nombre s de la définition est noté $s(a) $
E est l'ensemble des matrices semi-magiques de format $n*n$
J la matrice $n*n$ dont tous les coefficients sont des 1.
1. Montrer que E est un K-ev, et que s est linéaire
2.soit $a \in {M_n}(K)$. Montrer :
${a \in E \Leftrightarrow \exists \lambda \in K tq a*J=\lambda. J=J*a}$
3.montrer que E est stable par produit , et que $\forall(a,b) \in {E^2} , s(a*b)=s(a)*s(b) $
4. Soit $a \in E \cap {Gl_n}(K) $ montrer que $a^{-1} \in E$ et exprimer $s(a^{-1}) $ en fonction de $s(a) $
$p : E \rightarrow E$
$a \mapsto \frac{s(a)}{n}.J$
5.montrer que p est une projection. Montrer que ker(p)=ker(s). Que vaut im(p)?
Si vous pouviez m'aider merci

[Job]

Bonjour

1. $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(K)$ car :
* $E$ n'est pas vide, il contient la matrice nulle
* Si $a$ et $b$ sont 2 matrices de $E$, $a+b\in E$ avec $s(a+b)=s(a)+s(b)$
* Si $a\in E$ et $\lambda \in K$ alors $\lambda a \in E$ avec $s(\lambda a)= \lambda s(a)$.

2. Soit $b=a\ast J$ : $b_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\times 1= s(a)$ donc $a\ast J =s(a) J$
On fait le même calcul avec $J\ast a$.
$\lambda =s(a)$

3. Soit $(a,b)\in E^2$ et $c=a\ast b$
$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$
$\sum_{j=1}^n c_{ij}=\sum_{j=1}^n (\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj})=\sum_{k=1}^n (\sum_{j=1}^n a_{ik}b_{kj})=\sum_{k=1}^n (a_{ik}\sum_{j=1}^n b_{kj})=\sum_{k=1}^n a_{ik}s(b)=s(b)\sum_{k=1}^n a_{ik}=s(b)\cdot s(a)$

$\sum_{i=1}^n c_{ij}=\sum_{i=1}^n (\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj})=\sum_{k=1}^n (\sum_{i=1}^n a_{ik}b_{kj})=\sum_{k=1}^n (b_{kj}\sum_{i=1}^n a_{ik})=\sum_{k=1}^n s(a)b_{kj}=s(a)\sum_{k=1}^n b_{kj}=s(a)\cdot s(b)$

Donc $E$ est stable par le produit et $s(a\ast b)=s(a)\cdot s(b)$

4. Si $b=a^{-1}$, avec les notations précédentes, $\sum_{i=1}^n c_{ij}=1$ et dans le second calcul précédent, on obtient $s(a)\sum_{k=1}^n b_{kj}=1$ donc $\forall j\in \{1,\cdots , n\}, \sum_{k=1}^n b_{kj}=\frac{1}{s(a)}$
Chaque ligne de $a^{-1}$ a pour somme $\frac{1}{s(a)}$. De même pour chaque colonne donc $a^{-1}\in E$ et $s(a^{-1})=\frac{1}{s(a)}$

[Job]

5.
$p^2(a)=\frac{s(\frac{s(a)}{n}J)}{n} J=\frac{\frac{s(a)}{n}s(J)}{n} J=\frac{\frac{s(a)}{n} \cdot n}{n} J=\frac{s(a)}{n} J=p(a)$
Donc $p$ est un projecteur.

$a\in \ker(p) \Longleftrightarrow p(a)=0$. Comme $J$ n'est pas la matrice nulle, $a\in \ker (p) \Longleftrightarrow s(a)=0$
$\ker (p)$ est le sous-espace vectoriel des matrices de $E$ pour lesquelles chaque ligne et chaque colonne ont une somme nulle.

Les matrices de $Im (p)$ sont les matrices $\alpha J$

[noir d'encre]

Bonjour,
d'accord merci beaucoup