Suite décroissante.7

[Jean37]

On considère la suite U définie par : U0 = 2 et Un+1 =1/2*(Un +(3/Un)), ∀ n ∈ . On considère
également la fonction réelle f(.) définie par : f(x) =( x² + 3)/2x
1°./ (a) Justifier que Un > 0, ∀ n ∈ N , et montrer que : Un+1 ≥$\sqrt{3}$ , ∀ n ∈ N .
1°./ (b) Montrer que la suite (Un)n∈ N est décroissante.
2°./ (a) Justifier de la convergence de la suite (Un)n∈N
2°./ (b) Justifier de la continuité de La fonction f(.) sur R∗
2°./ (c) En déduire le calcul de l = lim Un quand n → +∞ (Préciser et justifier chaque étape du calcul).
Réponse: Un+1= 1/2*(Un +(3/Un))= (1/2)*(Un²+3/Un) ensuite, Initialisation : Par hypothèse : Un>0 alors par hérédité on suppose que U0>0(c'est dailleurs le cas,U0=2)
Hérédité : On suppose vérifié, au rang n,Un>0, alors (Un²+3)/2Un>0 soit Un+1>0 donc la propriété est vérifié au rang n+1.
Conclusion : par récurrence ∀n∈n Un>0.
1b)La suite est minoré et une suite décroissante est majoré par son premier terme U0 donc cette suite est majoré par 2 donc Par hypothèse : U0<2 ,On suppose vérifié, au rang n,Un<2;alors (Un²+3)/2Un<2 soit Un+1<2 donc la propriété est vérifié au rang n+1 et Un<2 pour tout n,par réccurence.
(b) je ne sais pas.
(c)lim(Un)= lim x²/2x=lim x/2=+l'infini.

[Jean37]

Est-ce que ce que j'ai fais est bon?

[Job]

Est-ce que ce que j'ai fais est bon?

Honnêtement, ce n'est pas très bon, je le reprends presque entièrement.

1° (a) D'accord pour la justification de $u_n>0$
Récurrence pour $u_n\geq \sqrt 3$
* $u_0=2\geq \sqrt 3$
* On suppose vérifié, au rang $n$, $u_n\geq \sqrt 3$. Il faut montrer que $u_{n+1}\geq \sqrt 3$.
Comme dans le conseil donné l'autre exercice, on calcule la différence $u_{n+1}-\sqrt 3$
$u_{n+1}-\sqrt 3= \frac{u_n^2+3}{2u_n}-\sqrt 3 =\frac{u_n^2+3-2u_n\sqrt 3}{2u_n}=\frac{(u_n-\sqrt 3)^2}{2u_n}$
Le numérateur est positif et le dénominateur strictement positif donc $u_{n+1}-\sqrt 3 \geq 0$ soit $u_{n+1}\geq \sqrt 3$
L'inégalité est donc bien vérifiée au rang $n+1$.

1° (b) $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+3}{2u_n}=u_n=\frac{u_n^2+3-2u_n^2}{2u_n}=\frac{-u_n^2+3}{2u_n}$
$u_n\geq \sqrt 3$ donc $u_n^2\geq 3$ soit $3-u_n^2\leq 0$.
Donc $u_{n+1}-u_n\leq 0$ soit $\forall n \in {\mathbb N}, u_{n+1}\leq u_n$. La suite est donc décroissante.

2° (a) La suite $(u_n) $ est décroissante et minorée par $\sqrt 3$ donc elle converge.

2° (b) Sur ${\mathbb R}*$ la fonction f est une fonction rationnelle dont le dénominateur est non nul donc elle est continue sur $]-\infty , 0[$ et sur $]0,+\infty[$.

2° (c) Comme dans l'autre exercice, la suite converge et $f$ est une fonction continue sur $]0, +\infty[$ donc la limite est solution de l'équation $f(x)=x$
$\frac{x^2+3}{2x}=x$
$x^2+3=2x^2 \\ x^2=3 \\ x=\pm \sqrt 3$
Comme la suite est positive, elle converge vers $\sqrt 3$.