Bonjour,j'ai fais cet exercice:
2 ( extrait du partiel de mars 2010)
On considère la fonction définie par f(x) = (x²/4)+ 1, et la suite U définie par : U0 = 1 et
Un+1 = f(Un) , ∀ n ∈ N.
1/ La fonction f(.) est-elle continue sur ?
2/
(a) Résoudre dans l’équation : f(x) = x
(b) Montrer que : f(x) ≥ x , ∀x ∈ R .
3°/ Au moyen d’un raisonnement par récurrence, montrer que : 0 < Un < 2 , ∀ n ∈ N.
4°/ Déduire de 2°/(b) et de 3°/ que la suite U est convergente.
5°/ Déterminer l =n → +∞lim Un
Réponse:
1) la fonction est continue sur R parce que elle est continue en chaque réel x de R.
2)a) f(x)=x<=>(x²/4)+1=x<=>(x²/4)+1-x=0,c'est une équation du second degré et je met tout au même dénominateur,donc x²+4-4x=0 donc la solution c'est : 2.
b) Il faut montrer que (x²/4)+1 ≥x ce qui équivaut a x²+4 ≥4x petit problème,f(2)<2...
3) On fait une récurrence.
Initialisation : Par hypothèse : 0 <U0 < 2
Hérédité : On suppose vérifié, au rang n,0 < Un < 2 alors 0< Un < 2 alors 0 < (Un²/4)+1< 2 soit 0< Un+1 <2 donc la propriété est vérifié au rang n+1.
Conclusion : par récurrence ∀n∈n, 0< Un < 2.
4) La suite est croissante et majorée par 2 donc elle est convergente.
5)lim Un=lim Un²/4 +1=+l'infini.
Suite,fonction3
Re: Suite,fonction3
Bonjour
2/ (b) La meilleure méthode est d'étudier le signe de la différence.
$f(x)-x=\frac{x^2}{4} +1-x=\frac{x^2+4-4x}{4}=\frac{(x-2)^2}{4}\geq 0$ donc $f(x)\geq x$.
3°/ Il faut bien justifier le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$
On suppose vérifié, au rang $n$ : $0<u_n<2$
La fonction $f$ est strictement croissante donc elle conserve l'ordre, par conséquent $f(0)<f(u_n)<f(2)$ soit $1<u_{n+1} <2$ donc $0<u_{n+1}<2$.
4/ et 5/ Tu te contredis car si la suite est convergente, elle ne peut pas avoir pour limite $+\infty$. Une suite convergente a une limite finie.
On justifie bien que la suite est croissante : $f(x)\geq x$ donc $f(u_n)\geq u_n$ soit $u_{n+1}\geq u_n$ et majorée par 2 donc elle est convergente.
Propriété à connaître : Si une suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ fonction continue converge, alors sa limite est solution de l'équation $f(x)=x$
Donc, ici, d'après la question 2°(a), la suite converge vers 2.
2/ (b) La meilleure méthode est d'étudier le signe de la différence.
$f(x)-x=\frac{x^2}{4} +1-x=\frac{x^2+4-4x}{4}=\frac{(x-2)^2}{4}\geq 0$ donc $f(x)\geq x$.
3°/ Il faut bien justifier le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$
On suppose vérifié, au rang $n$ : $0<u_n<2$
La fonction $f$ est strictement croissante donc elle conserve l'ordre, par conséquent $f(0)<f(u_n)<f(2)$ soit $1<u_{n+1} <2$ donc $0<u_{n+1}<2$.
4/ et 5/ Tu te contredis car si la suite est convergente, elle ne peut pas avoir pour limite $+\infty$. Une suite convergente a une limite finie.
On justifie bien que la suite est croissante : $f(x)\geq x$ donc $f(u_n)\geq u_n$ soit $u_{n+1}\geq u_n$ et majorée par 2 donc elle est convergente.
Propriété à connaître : Si une suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ fonction continue converge, alors sa limite est solution de l'équation $f(x)=x$
Donc, ici, d'après la question 2°(a), la suite converge vers 2.