Bonjour, je cherche de l'aide pour ces exercices. MERCI D'AVANCE
EXERCICE1
1°/ Montrer que toute suite d’entiers relatifs qui converge est stationnaire
2°/ Etudier la suite ($x_{n}$) définie par : $x_{n}$ est la nième décimale de $\sqrt{2}$
EXERCICE2
Pour tout entier n strictement positif, on considère le polynôme :
$P_{n}$ (x)=$x^{n}$+$x^{n-1}$+...+x-1.
1°/ Montrer que le polynome $P_{n}$ admet une unique racine positive ($a_{n}$)
2°/ Montrer que ∀ n∈N*,$P_{n}$ ($a_{n+1}$)<0 En déduire le sens de variation de la suite ($a_{n}$) et démontrer que qu’elle converge
3°/ Simplifier l’expression de $P_{n}$ (x) pour x≠1 et en déduire la limite de la suite ($a_{n}$).
EXERCICE3
1°/ Soit ($x_{n}$) une suite réelle convergente vers l. Montrer que la suite ($y_{n}$) définie par = $y_{n}$=$\frac{1}{n}$($x_{1}$+$x_{2}$+...+$x_{n}$) converge également vers l. La réciproque est-elle vrai ?
2°/ Soit ($x_{n}$) une suite réelle telle que la suite ($x_{n+1}$-$x_{n}$)converge vers l .Montrer que la suite $\frac{x_{n}}{n}$ converge également vers l. La réciproque est-elle vrai ?
3°/ Soit ($x_{n}$) une suite de réels strictement positifs telle que la suite ($\frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ) converge vers l .Montrer que la suite $\sqrt[n]{x_{n}}$converge également vers l. La réciproque est-elle vrai ?
4°/ Application Déterminer les limites éventuelles des suites:
$U_{n}$=$\sqrt[n]{n}$, $V_{n}$=$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
EXERCICE4
1°/ Soit ($x_{n}$) et ($y_{n}$) deux suites réelles. On suppose que ($y_{n}$) est strictement positive, strictement croissante et non bornée. Démontrer que si la limite quand n tend vers +∞ de $\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}$=l alors la limite quand n tend vers +∞ de $\frac{x_{n}}{y_{n}}$ existe et vaut l.
2°/ Retrouver la moyenne de Cesaro
3°/ Etablir que $\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{n}$ ~ ln n lorsque n tend vers +∞
4°/ Soit ($a_{n}$) une suite de réels telle que la limite quand n tend vers +∞ de ($a_{n+1}$ -λ$a_{n}$)=0 avec λ=$\frac{1}{2}$. Montrer que la limite quand n tend vers +∞ de $a_{n}$=0
5°/ Soit λ ∈ ]-1,1[ et ($a_{n}$) une suite de réels telle que la limite quand n tend vers +∞ de ($a_{n+1}$ -λ$a_{n}$)=a. Montrer que la limite quand n tend vers +∞ de $a_{n}$=$\frac{a}{1-λ}$
siutes
Re: siutes
Bonjour
Exercice 1
1° / Si $(u_n)$ converge alors elle est de Cauchy. En prenant $\epsilon =\frac{1}{2},\ \exists q\in {\mathbb N}, \forall n\geq q, \forall p\in {\mathbb N}, |x_{n+p}-x_n|\leq \frac{1}{2}$
Or $x_n\in {\mathbb Z}$ et $x_{n+p}\in {\mathbb Z}$ donc $|x_{n+p}-x_n|=0$ soit $x_{n+p}=x_n$. la suite est donc stationnaire à partir du rang $q$.
2° / Si la suite converge alors il existe un rang $n$, à partir duquel la suite est stationnaire puisque c'est une suite d'entiers.
On a alors $\sqrt 2 =d+\frac{a}{10^n}+\frac{a}{10^{n+1}} +\frac{a}{10^{n+2}} +\cdots$ où $d$ est un décimal et $a$ un entier naturel compris entre 0 et 9.
Si $a=0$ alors $\sqrt 2$ serait un décimal ce qui est faux.
Si $a\neq 0$ alors $\sqrt 2=d+\frac{a}{10^n} \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$ (On a une somme infinie de termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{10}$)
Soir $\sqrt 2= d+\frac{a}{10^n} \times \frac{10}{9}$ et $\sqrt 2$ serait rationnel ce qui est faux.
Donc la suite ne converge pas.
Exercice 1
1° / Si $(u_n)$ converge alors elle est de Cauchy. En prenant $\epsilon =\frac{1}{2},\ \exists q\in {\mathbb N}, \forall n\geq q, \forall p\in {\mathbb N}, |x_{n+p}-x_n|\leq \frac{1}{2}$
Or $x_n\in {\mathbb Z}$ et $x_{n+p}\in {\mathbb Z}$ donc $|x_{n+p}-x_n|=0$ soit $x_{n+p}=x_n$. la suite est donc stationnaire à partir du rang $q$.
2° / Si la suite converge alors il existe un rang $n$, à partir duquel la suite est stationnaire puisque c'est une suite d'entiers.
On a alors $\sqrt 2 =d+\frac{a}{10^n}+\frac{a}{10^{n+1}} +\frac{a}{10^{n+2}} +\cdots$ où $d$ est un décimal et $a$ un entier naturel compris entre 0 et 9.
Si $a=0$ alors $\sqrt 2$ serait un décimal ce qui est faux.
Si $a\neq 0$ alors $\sqrt 2=d+\frac{a}{10^n} \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$ (On a une somme infinie de termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{10}$)
Soir $\sqrt 2= d+\frac{a}{10^n} \times \frac{10}{9}$ et $\sqrt 2$ serait rationnel ce qui est faux.
Donc la suite ne converge pas.
Re: siutes
Exercice 2
1° / Sur $[0,+\infty[$, $P'_n(x)=nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2} +\cdots +1>0$
Pour $n=1$ une seule racine $a_1=1$
Pour $n>1$, $P_n$ est une fonction continue, strictement croissante$P_n(0)=-1$ et $P_n(1)> 0$. $P_n$ établit une bijection de [0 , 1] sur $[-1, n-1]$ donc $\exists ! a_n\in ]0, 1[/ P_n(a_n)=0$ et sur l'intervalle $[1, +\infty[$, $P_n$ n'admet pas de racine.
2° / $a_{n+1}$ vérifie $1=a_{n+1}^{n+1}+a_{n+1}^{n} +\cdots a_{n+1}^2 +a_{n+1}$.
$P_n(a_{n+1}=a_{n+1}^n +a_{n+1}^{n-1} +\cdots +a_{n+1}-1=a_{n+1}^n +a_{n+1}^{n-1} +\cdots +a_{n+1}-(a_{n+1}^{n+1}+a_{n+1}^{n} +\cdots a_{n+1}^2 +a_{n+1})$
$=-a_{n+1}<0$
$P_n(a_{n+1})<P_n(a_n)$ et $P_n$ fonction croissante conserve l'ordre donc $a_{n+1}<a_n$.
La suite est donc décroissante minorée par 0 donc elle converge.
3° / $P_n(x)=x\times \frac{1-x^n}{1-x} -1=\frac{-x^{n+1} +2x-1}{1-x}$
Donc $a_n$ est solution de l'équation $x^{n+1}=2x-1$
Étant donné que pour $n>1$, $a_n\in ]0,1[,\ \lim_{n\to +\infty} a_n^{n+1}=0$ donc $\lim_{n\to +\infty} 2a_n-1=0$. la suite converge donc vers $\frac{1}{2}$.
1° / Sur $[0,+\infty[$, $P'_n(x)=nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2} +\cdots +1>0$
Pour $n=1$ une seule racine $a_1=1$
Pour $n>1$, $P_n$ est une fonction continue, strictement croissante$P_n(0)=-1$ et $P_n(1)> 0$. $P_n$ établit une bijection de [0 , 1] sur $[-1, n-1]$ donc $\exists ! a_n\in ]0, 1[/ P_n(a_n)=0$ et sur l'intervalle $[1, +\infty[$, $P_n$ n'admet pas de racine.
2° / $a_{n+1}$ vérifie $1=a_{n+1}^{n+1}+a_{n+1}^{n} +\cdots a_{n+1}^2 +a_{n+1}$.
$P_n(a_{n+1}=a_{n+1}^n +a_{n+1}^{n-1} +\cdots +a_{n+1}-1=a_{n+1}^n +a_{n+1}^{n-1} +\cdots +a_{n+1}-(a_{n+1}^{n+1}+a_{n+1}^{n} +\cdots a_{n+1}^2 +a_{n+1})$
$=-a_{n+1}<0$
$P_n(a_{n+1})<P_n(a_n)$ et $P_n$ fonction croissante conserve l'ordre donc $a_{n+1}<a_n$.
La suite est donc décroissante minorée par 0 donc elle converge.
3° / $P_n(x)=x\times \frac{1-x^n}{1-x} -1=\frac{-x^{n+1} +2x-1}{1-x}$
Donc $a_n$ est solution de l'équation $x^{n+1}=2x-1$
Étant donné que pour $n>1$, $a_n\in ]0,1[,\ \lim_{n\to +\infty} a_n^{n+1}=0$ donc $\lim_{n\to +\infty} 2a_n-1=0$. la suite converge donc vers $\frac{1}{2}$.
Re: siutes
Exercice 3
1° / Il est plus commode de se ramener à une limite en 0.
On pose $a_n=x_n-l$ et $b_n=y_n-l=\frac{1}{n} \left((x_1-l)+(x_2-l) +\cdots (x_n-l)\right)=\frac{1}{n} (a_1+a_2+\cdots +a_n)$
Il faut donc montrer que si $(a_n)$ converge vers 0 alors $(b_n)$ converge vers 0.
$\lim a_n=0$ donc $\forall \epsilon >0, \exists N\in {\mathbb N}\ /\ \forall n >N, |a_n| <\frac{\epsilon}{2}$
$\forall n >N, |b_n| \leq \frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k| +\frac{1}{n} |\sum_{k=N+1}^n a_k|$
$\frac{1}{n} |\sum_{k=N+1}^n a_k|\leq \frac{\epsilon}{2} \times \frac{n-N}{n}<\frac{\epsilon}{2}$
$\frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k|$ est une constante indépendante de $n$ donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k|=0$
Par conséquent $\exists N_1>N\ /\ \frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k|<\frac{\epsilon}{2}$
On en déduit : $\forall \epsilon >0,\exists N_1\ /\ \forall n>N_1, |b_n|<\epsilon$ donc la suite $(b_n)$ converge vers 0.
La réciproque est fausse : en prenant $x_n=(-1)^n$, $(y_n)$ converge vers 0 mais $(x_n)$ n' a pas de limite.
2° / On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=x_1$ et pour $n>1,\ u_n=x_n-x_{n-1}$.
Par hypothèse $(u_n)$ converge vers $l$ donc, en utilisant la question 1, $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n$ a pour limite $l$.
$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n=\frac{1}{n}[x_1+(x_2-x_1)+\cdots +(x_n-x_{n-1})]=\frac{1}{n} x_n$
Donc la suite $(\frac{x_n}{n})$ converge vers $l$.
La réciproque est fausse : avec $x_n=(-1)^n,\ \lim \frac{(-1)^n}{n} =0$ mais la suite $(x_n)$ n'a pas de limite.
À SUIVRE
1° / Il est plus commode de se ramener à une limite en 0.
On pose $a_n=x_n-l$ et $b_n=y_n-l=\frac{1}{n} \left((x_1-l)+(x_2-l) +\cdots (x_n-l)\right)=\frac{1}{n} (a_1+a_2+\cdots +a_n)$
Il faut donc montrer que si $(a_n)$ converge vers 0 alors $(b_n)$ converge vers 0.
$\lim a_n=0$ donc $\forall \epsilon >0, \exists N\in {\mathbb N}\ /\ \forall n >N, |a_n| <\frac{\epsilon}{2}$
$\forall n >N, |b_n| \leq \frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k| +\frac{1}{n} |\sum_{k=N+1}^n a_k|$
$\frac{1}{n} |\sum_{k=N+1}^n a_k|\leq \frac{\epsilon}{2} \times \frac{n-N}{n}<\frac{\epsilon}{2}$
$\frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k|$ est une constante indépendante de $n$ donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k|=0$
Par conséquent $\exists N_1>N\ /\ \frac{1}{n} |\sum_{k=1}^N a_k|<\frac{\epsilon}{2}$
On en déduit : $\forall \epsilon >0,\exists N_1\ /\ \forall n>N_1, |b_n|<\epsilon$ donc la suite $(b_n)$ converge vers 0.
La réciproque est fausse : en prenant $x_n=(-1)^n$, $(y_n)$ converge vers 0 mais $(x_n)$ n' a pas de limite.
2° / On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=x_1$ et pour $n>1,\ u_n=x_n-x_{n-1}$.
Par hypothèse $(u_n)$ converge vers $l$ donc, en utilisant la question 1, $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n$ a pour limite $l$.
$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n=\frac{1}{n}[x_1+(x_2-x_1)+\cdots +(x_n-x_{n-1})]=\frac{1}{n} x_n$
Donc la suite $(\frac{x_n}{n})$ converge vers $l$.
La réciproque est fausse : avec $x_n=(-1)^n,\ \lim \frac{(-1)^n}{n} =0$ mais la suite $(x_n)$ n'a pas de limite.
À SUIVRE
Re: siutes
Exercice 3 - Suite
3° / Soit $u_n=\ln (x_n)$
$u_{n+1}-u_n=\ln (x_{n+1})-\ln x_n =\ln (\frac{x_{n+1}}{x_n})$ converge vers $\ln (l)$
Donc d'après la question 2° $\frac{u_n}{n}=\frac{\ln x_n}{n}$ converge vers $\ln (l)$.
$\frac{1}{n} \ln (x_n)=\ln (\sqrt[n]{x_n})$
En composant avec la fonction exponentielle continue on a : $\sqrt[n]{x_n}$ converge vers $l$.
La réciproque est fausse. Contre-exemple :
Soit $0<a<b$ et la suite définie par $x_{2n}=a^nb^n$ et $x_{2n+1} =a^{n+1}b^n$
$\frac{x_{2n+1}}{x_{2n}}=a$ et $\frac{x_{2n+2}}{x_{2n+1}}=\frac{a^{n+1}b^{n+1}}{a^{n+1}b^n}=b$ donc la suite $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ n'a pas de limite.
$\sqrt[2n]{x_{2n}}=(a^nb^n)^{\frac{1}{2n}}=\sqrt{ab}$
$\sqrt[2n+1]{x_{2n+1}}=a^{\frac{n+1}{2n+1}}b^{\frac{n}{2n+1}}$ a comme limite $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{ab}$
Donc $(\sqrt[n]{x_n})$ converge.
4° / Soit la suite définie par $x_n=n$. La suite $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ converge vers 1 donc, d'après la question 3°, la suite $(\sqrt[n]{n})$ converge vers 1.
Soit la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\frac{n!}{n^n}$
$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times \frac{n^n}{n!}=(\frac{n}{n+1})^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$
$\lim (1+\frac{1}{n})^n=e$ donc la suite $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ converge vers $\frac{1}{e}$.
D'après la question 3 la suite $(\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}})$ converge vers $\frac{1}{e}$ et $\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.
3° / Soit $u_n=\ln (x_n)$
$u_{n+1}-u_n=\ln (x_{n+1})-\ln x_n =\ln (\frac{x_{n+1}}{x_n})$ converge vers $\ln (l)$
Donc d'après la question 2° $\frac{u_n}{n}=\frac{\ln x_n}{n}$ converge vers $\ln (l)$.
$\frac{1}{n} \ln (x_n)=\ln (\sqrt[n]{x_n})$
En composant avec la fonction exponentielle continue on a : $\sqrt[n]{x_n}$ converge vers $l$.
La réciproque est fausse. Contre-exemple :
Soit $0<a<b$ et la suite définie par $x_{2n}=a^nb^n$ et $x_{2n+1} =a^{n+1}b^n$
$\frac{x_{2n+1}}{x_{2n}}=a$ et $\frac{x_{2n+2}}{x_{2n+1}}=\frac{a^{n+1}b^{n+1}}{a^{n+1}b^n}=b$ donc la suite $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ n'a pas de limite.
$\sqrt[2n]{x_{2n}}=(a^nb^n)^{\frac{1}{2n}}=\sqrt{ab}$
$\sqrt[2n+1]{x_{2n+1}}=a^{\frac{n+1}{2n+1}}b^{\frac{n}{2n+1}}$ a comme limite $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{ab}$
Donc $(\sqrt[n]{x_n})$ converge.
4° / Soit la suite définie par $x_n=n$. La suite $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ converge vers 1 donc, d'après la question 3°, la suite $(\sqrt[n]{n})$ converge vers 1.
Soit la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\frac{n!}{n^n}$
$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times \frac{n^n}{n!}=(\frac{n}{n+1})^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$
$\lim (1+\frac{1}{n})^n=e$ donc la suite $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ converge vers $\frac{1}{e}$.
D'après la question 3 la suite $(\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}})$ converge vers $\frac{1}{e}$ et $\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.
Re: siutes
Exercice 4
1° / Il s'agit du théorème de Stolz .
Une démonstration : http://planetmath.org/ProofOfStolzCesaroTheorem
1° / Il s'agit du théorème de Stolz .
Une démonstration : http://planetmath.org/ProofOfStolzCesaroTheorem