Bonjour ,
C'est un examen de l'année dernière de notre université mais qui a été posté sans correction , alors est ce que vous pouvez me résoudre les 3 premiers exercices ça veut dire la première page Svp , pour corriger mes fautes ?
http://formation.u-psud.fr/courses/L1MP ... PI20092010
Cordialement
Analyse
Re: Analyse
Bonjour
Exercice 1
1. $a_n$ est la somme de $n$ termes d'une suite géométrique de premier terme $\frac{1}{2}$ et de raison $\frac{1}{2}$
$a_n=\frac{1}{2}\times \frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=1-(\frac{1}{2})^n$
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n =0$ donc $\lim_{n\to +\infty} a_n=1$
2. $\forall k\geq 1, \frac{1}{k\cdot 2^k}\leq \frac{1}{2^k}$. On en déduit $b_n\leq a_n$
$(a_n)$ est par construction une suite croissante donc elle est majorée par sa limite 1.
De $b_n\leq a_n$ on déduit que $(b_n)$ est majorée par 1 et c'est une suite croissante par construction donc elle converge.
Exercice 2
Soit $f$ la fonction $\ln$. $f$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle $[1, x]$ et de classe $C^2$ sur $]1,x[$ donc il existe un réel $c\in ]1,x[$ tel que $f(x)=f(1)+\frac{x-1}{1}f'(1)+\frac{(x-1)^2}{2!}f"(c)$ soit $\ln x =0+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2} (-\frac{1}{c^2})$
$1<c<x$
$1<c^2<x^2$
$\frac{1}{x^2}<\frac{1}{c^2}<1$
$-1<-\frac{1}{c^2} <\frac{-1}{x^2}$
$-\frac{(x-1)^2}{2} <\frac{(x-1)^2}{2}(-\frac{1}{c^2})<\frac{(x-1)^2}{2} (-\frac{1}{x^2})$
$-\frac{(x-1)^2}{2}<\ln x -(x-1)<-\frac{(x-1)^2}{2x^2}$
$x-1-\frac{(x-1)^2}{2}<\ln x < x-1-\frac{(x-1)^2}{2x^2}$
Exercice 1
1. $a_n$ est la somme de $n$ termes d'une suite géométrique de premier terme $\frac{1}{2}$ et de raison $\frac{1}{2}$
$a_n=\frac{1}{2}\times \frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=1-(\frac{1}{2})^n$
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n =0$ donc $\lim_{n\to +\infty} a_n=1$
2. $\forall k\geq 1, \frac{1}{k\cdot 2^k}\leq \frac{1}{2^k}$. On en déduit $b_n\leq a_n$
$(a_n)$ est par construction une suite croissante donc elle est majorée par sa limite 1.
De $b_n\leq a_n$ on déduit que $(b_n)$ est majorée par 1 et c'est une suite croissante par construction donc elle converge.
Exercice 2
Soit $f$ la fonction $\ln$. $f$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle $[1, x]$ et de classe $C^2$ sur $]1,x[$ donc il existe un réel $c\in ]1,x[$ tel que $f(x)=f(1)+\frac{x-1}{1}f'(1)+\frac{(x-1)^2}{2!}f"(c)$ soit $\ln x =0+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2} (-\frac{1}{c^2})$
$1<c<x$
$1<c^2<x^2$
$\frac{1}{x^2}<\frac{1}{c^2}<1$
$-1<-\frac{1}{c^2} <\frac{-1}{x^2}$
$-\frac{(x-1)^2}{2} <\frac{(x-1)^2}{2}(-\frac{1}{c^2})<\frac{(x-1)^2}{2} (-\frac{1}{x^2})$
$-\frac{(x-1)^2}{2}<\ln x -(x-1)<-\frac{(x-1)^2}{2x^2}$
$x-1-\frac{(x-1)^2}{2}<\ln x < x-1-\frac{(x-1)^2}{2x^2}$
Re: Analyse
Exercice 3
1. $f(\sqrt 3)=\frac{\sqrt 3+3}{\sqrt 3+1}=\frac{\sqrt 3 (1+\sqrt 3)}{\sqrt 3+1}=\sqrt 3$ donc $\sqrt 3$ est un point fixe de $f$.
$f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}$ ; $f'(\sqrt 3)=\frac{-2}{(\sqrt 3+1)^2}$
$|f'(\sqrt 3)|<1$ donc le point fixe est attractif.
2. Sur $]-1,+\infty[$ f est strictement décroissante.
$f(1)=2$ et $f(2)=\frac{5}{3}$ donc $f([1,2])=[\frac{5}{3} , 2]\subset [1,2]$.
$I=[1,2]$ est donc stable par $f$.
Sur $I,\ 4\leq (x+1)^2 \leq 9$ donc $\frac{2}{9}\leq |f'(x)|\leq \frac{1}{2}$
Sur $I,\ |f'(x)|\leq \frac{1}{2}$
3. (a) On fait une récurrence.
$u_0\in I$
Soit $u_n\in I$ alors $u_n\neq -1$ donc $u_{n+1}$ est défini.
$I$ étant stable par $f$, $u_n\in I \Longrightarrow u_{n+1}=f(u_n)\in I$
(b) Sur $I$ , $1-\sqrt 3 \leq u_n-\sqrt 3\leq 2-\sqrt 3$ donc $|u_n-\sqrt 3|\leq sup (|1-\sqrt 3| , 2-\sqrt 3)=\sqrt 3-1$
On montre par récurrence que $|u_n-\sqrt 3|\leq (\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|$
C'est vérifié pour $n=0$
On suppose vérifié $|u_n-\sqrt 3|\leq (\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|$
On utilise l'inégalité des accroissements finis et la majoration $\frac{1}{2} $ de $f'(x)$ sur $I$
$|f(u_n)-f(\sqrt 3)|\leq \frac{1}{2}|u_n-\sqrt 3|$ soit $|u_{n+1}-\sqrt 3|\leq \frac{1}{2}\times (\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|=(\frac{1}{2})^{n+1}|u_0-\sqrt 3|$
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n=0$ donc la suite converge vers $\sqrt 3$
(c) Une condition suffisante pour que $|u_n-\sqrt 3|\leq 10^{-p}$ est que $(\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|\leq 10^{-p}$
$(\frac{1}{2})^n\leq \frac{10^{-p}}{|u_0-\sqrt 3|}\leq 10^{-p}$ car l'intervalle $I$ est d'amplitude 1.
En utilisant le logarithme de base 10 on peut écrire $n\log_{10}(\frac{1}{2})\leq -p$ donc $n\geq \frac{-p}{\log_{10}(\frac{1}{2})}=\frac{p}{\log_{10}(2)}$
1. $f(\sqrt 3)=\frac{\sqrt 3+3}{\sqrt 3+1}=\frac{\sqrt 3 (1+\sqrt 3)}{\sqrt 3+1}=\sqrt 3$ donc $\sqrt 3$ est un point fixe de $f$.
$f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}$ ; $f'(\sqrt 3)=\frac{-2}{(\sqrt 3+1)^2}$
$|f'(\sqrt 3)|<1$ donc le point fixe est attractif.
2. Sur $]-1,+\infty[$ f est strictement décroissante.
$f(1)=2$ et $f(2)=\frac{5}{3}$ donc $f([1,2])=[\frac{5}{3} , 2]\subset [1,2]$.
$I=[1,2]$ est donc stable par $f$.
Sur $I,\ 4\leq (x+1)^2 \leq 9$ donc $\frac{2}{9}\leq |f'(x)|\leq \frac{1}{2}$
Sur $I,\ |f'(x)|\leq \frac{1}{2}$
3. (a) On fait une récurrence.
$u_0\in I$
Soit $u_n\in I$ alors $u_n\neq -1$ donc $u_{n+1}$ est défini.
$I$ étant stable par $f$, $u_n\in I \Longrightarrow u_{n+1}=f(u_n)\in I$
(b) Sur $I$ , $1-\sqrt 3 \leq u_n-\sqrt 3\leq 2-\sqrt 3$ donc $|u_n-\sqrt 3|\leq sup (|1-\sqrt 3| , 2-\sqrt 3)=\sqrt 3-1$
On montre par récurrence que $|u_n-\sqrt 3|\leq (\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|$
C'est vérifié pour $n=0$
On suppose vérifié $|u_n-\sqrt 3|\leq (\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|$
On utilise l'inégalité des accroissements finis et la majoration $\frac{1}{2} $ de $f'(x)$ sur $I$
$|f(u_n)-f(\sqrt 3)|\leq \frac{1}{2}|u_n-\sqrt 3|$ soit $|u_{n+1}-\sqrt 3|\leq \frac{1}{2}\times (\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|=(\frac{1}{2})^{n+1}|u_0-\sqrt 3|$
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n=0$ donc la suite converge vers $\sqrt 3$
(c) Une condition suffisante pour que $|u_n-\sqrt 3|\leq 10^{-p}$ est que $(\frac{1}{2})^n |u_0-\sqrt 3|\leq 10^{-p}$
$(\frac{1}{2})^n\leq \frac{10^{-p}}{|u_0-\sqrt 3|}\leq 10^{-p}$ car l'intervalle $I$ est d'amplitude 1.
En utilisant le logarithme de base 10 on peut écrire $n\log_{10}(\frac{1}{2})\leq -p$ donc $n\geq \frac{-p}{\log_{10}(\frac{1}{2})}=\frac{p}{\log_{10}(2)}$
Re: Analyse
Bonjour,
En faite comment on fait pour la dernière question quelle est la méthode suivie pour la dernière question du dernier exo ?
Cordialement
En faite comment on fait pour la dernière question quelle est la méthode suivie pour la dernière question du dernier exo ?
Cordialement
Re: Analyse
Est-ce pour la dernière question de l'exercice 4 ?DONHAMZA a écrit :
En faite comment on fait pour la dernière question quelle est la méthode suivie pour la dernière question du dernier exo ?
Re: Analyse
Bonjour
non de l'exercice 3
Merci
non de l'exercice 3
Merci
Re: Analyse
La question n'est pas très claire et ce que j'ai écrit dans mon corrigé me semble répondre à la question. La condition sur $n$ est que $n\geq \frac{p}{\log_{10}(2)}$
Re: Analyse
Ma question est: est ce qu'il y'as une méthode pour répondre a ce genre de questions car j'ai trouvé dans plusieurs exo mais je sais pas comment répondre .
Merci
Merci
Re: Analyse
Quand une suite a une limite $L$ et que l'on a majoré $|u_n-L|$ par quelque chose du type $\alpha ^n$ et qu'on cherche une condition sur $n$ pour avoir une valeur approchée à $\epsilon$ près, il suffit de chercher à avoir $\alpha^n<\epsilon$ ce qui peut se faire soit directement comme dans l'exercice de 2012 ou en passant par les logarithmes comme dans cet exercice.