Bonjour, pouvez vous m'aider à la démonstration de ces inégalités:
1°/ Démontrer pour tous réels x et y on a:|xy-1|+1 ≤ (1+|x-1|)(1+|y-1|)
2°/ Montrer que ∀ (a,b,c) ∈ $IR^{3}$, $(a+b+c)^{3}$ ≤ 4$a^{2}$ + 4$b^{2}$ + 2$c^{2}$
inégalités
Re: inégalités
Bonjour
1°/
$(1+|(x-1|)(1+|y-1|)=1+|x-1|+|y-1|+|(x-1)(y-1)|=1+|x-1|+|y-1|+|(1-x)(1-y|)$
L'inégalité à démontrer équivaut à : $|xy-1|\leq |x-1|+|y-1|+|(1-x)(1-y|)$
Une somme de valeurs absolues est supérieure à la somme des valeurs absolues donc :
$|x-1|+|y-1|+|(1-x)(1-y|)\geq |x-1+y-1+(1-x)(1-y)|=|x-1+y-1+1-x-y+xy|=|xy-1|$
2°/ Il y a une erreur. L'inégalité à démontrer est fausse. Cela se voit en prenant $a=b=c=1$
1°/
$(1+|(x-1|)(1+|y-1|)=1+|x-1|+|y-1|+|(x-1)(y-1)|=1+|x-1|+|y-1|+|(1-x)(1-y|)$
L'inégalité à démontrer équivaut à : $|xy-1|\leq |x-1|+|y-1|+|(1-x)(1-y|)$
Une somme de valeurs absolues est supérieure à la somme des valeurs absolues donc :
$|x-1|+|y-1|+|(1-x)(1-y|)\geq |x-1+y-1+(1-x)(1-y)|=|x-1+y-1+1-x-y+xy|=|xy-1|$
2°/ Il y a une erreur. L'inégalité à démontrer est fausse. Cela se voit en prenant $a=b=c=1$
Re: inégalités
Pour 2°/ je me suis trompé c'est : ∀ (a,b,c) ∈ $IR^{3}$, $(a+b+c)^{2}$ ≤ 4$a^{2}$ + 4$b^{2}$ + 2$c^{2}$
Re: inégalités
En développant le carré, l'inégalité s'écrit : $a^2+b^2 +c^2 +2ab +2ac +2bc\leq 4a^2+4b^2 +2c^2$
Ce qui équivaut à : $3a^2+3b^2+c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0$
$3a^2+3b^2+c^2-2ab-2ac-2bc =(2a^2+2b^2 -4ab)+(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc)=2(a-b)^2+(c-a-b)^2$
Une somme de carrés est positive ou nulle donc l'inégalité est vérifiée.
On peut remarquer qu'il y aura égalité si $a=b$ et $c=a+b$.
Ce qui équivaut à : $3a^2+3b^2+c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0$
$3a^2+3b^2+c^2-2ab-2ac-2bc =(2a^2+2b^2 -4ab)+(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc)=2(a-b)^2+(c-a-b)^2$
Une somme de carrés est positive ou nulle donc l'inégalité est vérifiée.
On peut remarquer qu'il y aura égalité si $a=b$ et $c=a+b$.