equation différentielle

[noir d'encre]

Bonsoir,
je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle (je n'ai pas compris les méthodes)
$(x+1)y'- xy +1=0$ , si vous pouviez m'expliquer merci

[Job]

Bonjour

1) Soit $I=]-\infty , -1[$ ou $I=]-1,+\infty[$ . On normalise (E) sur I :
$y'-\frac{x}{x+1} y =-\frac{1}{x+1}$. Soit la forme $y'+ay=b$ (E)

2) On Résout l'équation sans second membre soit $E_0\ :\ y'-\frac{x}{x+1}y=0$ soit la forme $y'+ay=0$.
Elle admet pour solutions les fonctions $y=\lambda e^{-A(x)}$ où $\lambda \in {\mathbb R}$ et $A$ une primitive quelconque de $a$.
$a(x)=-\frac{x}{x+1}=-1+\frac{1}{x+1}$ donc $A(x)=-x+\ln |x+1|$
$y=\lambda e^{-A(x)}=\lambda e^{x-\ln |x+1|}=\lambda e^{x+\ln (\frac{1}{|x+1|})}=\lambda \frac{e^x}{|x+1|}$

3) On revient à l'équation générale. Il y a plusieurs méthodes : soit chercher une solution particulière $y_0$, soit utiliser la méthode de variation de la constante.
J'utilise ici la seconde qui consiste à considérer $\lambda$ comme une fonction de $x$.

* Sur $]-1,+\infty[$, $y=\lambda \frac{e^x}{x+1}$ ; $y'=\lambda' \frac{e^x}{x+1}+\lambda \frac{e^x(x+1-1}{(x+1)^2}$
En remplaçant dans l'équation (E) : $\lambda'\frac{e^x}{x+1}+\lambda \frac{xe^x}{(x+1)^2} -\frac{x}{x+1}\cdot \lambda \frac{e^x}{x+1}=-\frac{1}{x+1}$
On en déduit : $\lambda'=-e^{-x}$ donc $\lambda = e^{-x}+\mu$
Donc sur $]-1,+\infty[$, les solutions sont : $y=(e^{-x}+\mu) \frac{e^x}{x+1}=\frac{1}{x+1} +\mu \frac{e^x}{x+1}\ (\mu \in {\mathbb R})$

* Sur $]-\infty, -1[$, $y=-\lambda \frac{e^x}{x+1}$ on fait le même travail et on obtient le même résultat.

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup