Bonjour, j'ai des difficultés sur partie entière et j'aimerais de l'aide pour cet exercice:
1°/ Montrer que ∀ x,y ∈ IR, E(x)+E(x+y)+E(y) ≤ E(2x)+E(2y)
2°/ Montrer que ∀ n ∈ N*,∀ x ∈ R : E($\frac{E(nx)}{n}$)=E(x) et ∑(k=0) à (n-1) E(x+$\frac{k}{n}$)=E(nx) (sigma de k=0 à n-1)
3°/ Montrer que ∀ n ∈ N, E(($\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1})^{2})$ = 4n+1
4°/ Montrer que ∀ n ∈ N, E($\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$) = E($\sqrt{4n+3}$)
Merci d'avance.
partie entière
Re: partie entière
Bonjour
1°/
On pose $x=E(x)+a$ avec $0\leq a <1$ et $y=E(y)+b$ avec $0\leq b<1$
$E(x)$ et E(y) sont des entiers donc $E(x+y)=E(x)+E(y) +E(a+b)$
$2x=2E(x)+2a$ donc $E(2x)=2E(x)+E(2a)$. De même $E(2y)=2E(y)+E(2b)$
L'inégalité à démontrer équivaut donc à démontrer que $E(a+b)\leq E(2a)+E(2b)$ (A)
On distingue alors 4 cas :
* $a$ et $b$ appartiennent à $[0, \frac{1}{2}[$
Dans ce cas $a+b\in [0,1[$ donc $E(a+b)=E(a)=E(b)=0$. L'inégalité (A) est vérifiée.
* $a\in [0,\frac{1}{2}[$ et $b\in [\frac{1}{2} , 1[$ donc $E(2a)=0$ et $E(2b)=1$
$\frac{1}{2}\leq a+b<\frac{3}{2} $ donc $E(a+b)=0$ ou 1 mais dans chaque cas l'inégalité (A) est vérifiée.
* $a\in [\frac{1}{2},1[$ et $b\in [0, \frac{1}{2}[$ Même raisonnement que dans le deuxième cas.
* $a\in [\frac{1}{2} ,1[$ et $b\in [\frac{1}{2}, 1]$ donc $E(2a)=E(2b)=1$.
$a+b\in [1,2[$ donc $E(a+b)=1$. L'inégalité (A) est vérifiée.
1°/
On pose $x=E(x)+a$ avec $0\leq a <1$ et $y=E(y)+b$ avec $0\leq b<1$
$E(x)$ et E(y) sont des entiers donc $E(x+y)=E(x)+E(y) +E(a+b)$
$2x=2E(x)+2a$ donc $E(2x)=2E(x)+E(2a)$. De même $E(2y)=2E(y)+E(2b)$
L'inégalité à démontrer équivaut donc à démontrer que $E(a+b)\leq E(2a)+E(2b)$ (A)
On distingue alors 4 cas :
* $a$ et $b$ appartiennent à $[0, \frac{1}{2}[$
Dans ce cas $a+b\in [0,1[$ donc $E(a+b)=E(a)=E(b)=0$. L'inégalité (A) est vérifiée.
* $a\in [0,\frac{1}{2}[$ et $b\in [\frac{1}{2} , 1[$ donc $E(2a)=0$ et $E(2b)=1$
$\frac{1}{2}\leq a+b<\frac{3}{2} $ donc $E(a+b)=0$ ou 1 mais dans chaque cas l'inégalité (A) est vérifiée.
* $a\in [\frac{1}{2},1[$ et $b\in [0, \frac{1}{2}[$ Même raisonnement que dans le deuxième cas.
* $a\in [\frac{1}{2} ,1[$ et $b\in [\frac{1}{2}, 1]$ donc $E(2a)=E(2b)=1$.
$a+b\in [1,2[$ donc $E(a+b)=1$. L'inégalité (A) est vérifiée.
Re: partie entière
Exercice 2
a) $E(nx)\leq nx$ soit $\frac{E(nx)}{n}\leq x$. La partie entière est une fonction croissante donc $E(\frac{E(nx)}{n})\leq E(x)$
$E(x)\leq x$ soit $nE(x)\leq nx$.
$nE(x)$ est un entier donc $nE(x)\leq E(nx)$ soit $E(x)\leq \frac{E(nx)}{n}$ et $E(x) \leq E(\frac{E(nx)}{n})$.
Des 2 inégalités, on déduit que $E(\frac{E(nx)}{n})= E(x)$
b) On pose $a=E(nx)$ et on considère la division euclidienne de $a$ par $n$ : $a=nq+r$ avec $0\leq r \leq n-1$.
$nq+r\leq nx<nq+r+1$ soit $q+\frac{r}{n}\leq x <q+\frac{r+1}{n}$
$\forall k\in [0, n-1],\ q+\frac{r+k}{n}\leq x+\frac{k}{n} <q+\frac{r+k+1}{n}$
Si $k+r<n,\ E(x+\frac{k}{n} =q$ et si $k+r\geq n ,\ E(x+\frac{k}{n})=q+1)$
$\sum_{k=0}^{n-1} E(x+\frac{k}{n})=\sum_{k=0}^{n-r-1} E(x+\frac{k}{n})+\sum_{k=n-r}^{n-1} E(x+\frac{k}{n})=(n-r)q+r(q+1)=nq+r=a=E(nx)$
a) $E(nx)\leq nx$ soit $\frac{E(nx)}{n}\leq x$. La partie entière est une fonction croissante donc $E(\frac{E(nx)}{n})\leq E(x)$
$E(x)\leq x$ soit $nE(x)\leq nx$.
$nE(x)$ est un entier donc $nE(x)\leq E(nx)$ soit $E(x)\leq \frac{E(nx)}{n}$ et $E(x) \leq E(\frac{E(nx)}{n})$.
Des 2 inégalités, on déduit que $E(\frac{E(nx)}{n})= E(x)$
b) On pose $a=E(nx)$ et on considère la division euclidienne de $a$ par $n$ : $a=nq+r$ avec $0\leq r \leq n-1$.
$nq+r\leq nx<nq+r+1$ soit $q+\frac{r}{n}\leq x <q+\frac{r+1}{n}$
$\forall k\in [0, n-1],\ q+\frac{r+k}{n}\leq x+\frac{k}{n} <q+\frac{r+k+1}{n}$
Si $k+r<n,\ E(x+\frac{k}{n} =q$ et si $k+r\geq n ,\ E(x+\frac{k}{n})=q+1)$
$\sum_{k=0}^{n-1} E(x+\frac{k}{n})=\sum_{k=0}^{n-r-1} E(x+\frac{k}{n})+\sum_{k=n-r}^{n-1} E(x+\frac{k}{n})=(n-r)q+r(q+1)=nq+r=a=E(nx)$
Re: partie entière
Exercice 3
$E((\sqrt n +\sqrt{n+1})^2)=2n+1+E(2\sqrt {n^2+n})$
L'égalité à démontrer équivaut donc à l'égalité $E(2\sqrt {n^2+n})=2n$
$n^2+n=(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$ donc $\forall n \in {\mathbb N},\ n^2\leq n^2+n<(n+\frac{1}{2})^2$
Donc $n\leq \sqrt{n^2+n}<n+\frac{1}{2}$ et $2n\leq 2\sqrt{n^2+n}<2n+1$
On a donc $E(2\sqrt{n^2+n})=2n$
$E((\sqrt n +\sqrt{n+1})^2)=2n+1+E(2\sqrt {n^2+n})$
L'égalité à démontrer équivaut donc à l'égalité $E(2\sqrt {n^2+n})=2n$
$n^2+n=(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$ donc $\forall n \in {\mathbb N},\ n^2\leq n^2+n<(n+\frac{1}{2})^2$
Donc $n\leq \sqrt{n^2+n}<n+\frac{1}{2}$ et $2n\leq 2\sqrt{n^2+n}<2n+1$
On a donc $E(2\sqrt{n^2+n})=2n$
Re: partie entière
Exercice 4
$(\sqrt n +\sqrt {n+1})^2=2n+1+\sqrt{4n^2+4n}<2n+1+2n+1$ donc $\sqrt n +\sqrt {n+1}<\sqrt{4n+2}<\sqrt{4n+3}$
On a donc $E(\sqrt n +\sqrt{n+1})\leq E(\sqrt{4n+3})$ (A)
Soit $k=E(\sqrt{4n+3})$ donc $k^2\leq 4n+3$
Modulo 4, un carré est congru à 0 ou 1 donc $k^2$ ne peut être égal ni à $4n+3$ ni à $4n+2$ donc $E(\sqrt{4n+3})\leq \sqrt {4n+1}$
En utilisant le résultat de l'exercice 3, $\sqrt{4n+1}\leq \sqrt n + \sqrt {n+1}$
On en déduit donc que $E(\sqrt{4n+3})\leq \sqrt {4n+1}\leq \sqrt n +\sqrt{n+1}$ et $E(\sqrt{4n+3})\leq E(\sqrt n + \sqrt{n+1})$ (B)
Des inégalités (A) et (B) on déduit que $E(\sqrt n +\sqrt{n+1})= E(\sqrt{4n+3})$
$(\sqrt n +\sqrt {n+1})^2=2n+1+\sqrt{4n^2+4n}<2n+1+2n+1$ donc $\sqrt n +\sqrt {n+1}<\sqrt{4n+2}<\sqrt{4n+3}$
On a donc $E(\sqrt n +\sqrt{n+1})\leq E(\sqrt{4n+3})$ (A)
Soit $k=E(\sqrt{4n+3})$ donc $k^2\leq 4n+3$
Modulo 4, un carré est congru à 0 ou 1 donc $k^2$ ne peut être égal ni à $4n+3$ ni à $4n+2$ donc $E(\sqrt{4n+3})\leq \sqrt {4n+1}$
En utilisant le résultat de l'exercice 3, $\sqrt{4n+1}\leq \sqrt n + \sqrt {n+1}$
On en déduit donc que $E(\sqrt{4n+3})\leq \sqrt {4n+1}\leq \sqrt n +\sqrt{n+1}$ et $E(\sqrt{4n+3})\leq E(\sqrt n + \sqrt{n+1})$ (B)
Des inégalités (A) et (B) on déduit que $E(\sqrt n +\sqrt{n+1})= E(\sqrt{4n+3})$