Bonsoir,
pourriez-vous m'aider à calculer ces deux integrales svp? $\forall a \in ] 0,\frac{1}{2}]$
$\int_a^\frac{1}{2} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx$ et $\int_a^\frac{1}{2} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx$
d'avance merci
integrale s
Re: integrale s
Bonjour
On fait une intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)&=&\sqrt {1+x^2} \\ v'(x)&=&\frac{1}{x^2}\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl} u'(x)&=& \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ v(x)&=&-\frac{1}{x}\end{array}\right.$
$I=[-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}]_a^{\frac{1}{2}} +\int_a^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=[-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}]_a^{\frac{1}{2}}+[argsh (x)]_a^{\frac{1}{2}}$
$I=-\sqrt 5 +\frac{\sqrt{a^2+1}}{a} +argsh(\frac{1}{2}) -argsh (a)=-\sqrt 5 +\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\ln (\frac{1}{2} +\frac{\sqrt 5}{2})-\ln (a+\sqrt{a^2+1})$
La seconde se fait de la même manière avec une intégration par parties.
On fait une intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)&=&\sqrt {1+x^2} \\ v'(x)&=&\frac{1}{x^2}\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl} u'(x)&=& \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ v(x)&=&-\frac{1}{x}\end{array}\right.$
$I=[-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}]_a^{\frac{1}{2}} +\int_a^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=[-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}]_a^{\frac{1}{2}}+[argsh (x)]_a^{\frac{1}{2}}$
$I=-\sqrt 5 +\frac{\sqrt{a^2+1}}{a} +argsh(\frac{1}{2}) -argsh (a)=-\sqrt 5 +\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\ln (\frac{1}{2} +\frac{\sqrt 5}{2})-\ln (a+\sqrt{a^2+1})$
La seconde se fait de la même manière avec une intégration par parties.
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noir d'encre
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- Inscription : 01 janvier 2014, 16:57
Re: integrale s
Bonsoir,
d'accord merci beaucoup, j'avais fais avec arctan pour la deuxième et arcsin pour la première
d'accord merci beaucoup, j'avais fais avec arctan pour la deuxième et arcsin pour la première