Bonjour, je cherche encore de l'aide pour ces exercices sur calcul dans IR. Merci d'avance
EXERCICE 1
1°/ Parmi les rationnels plus petits que $\frac{1}{2}$, en existe-t-il un, qui soit plus grand que tous les autres :
2°/ Soit a un entier supérieur à 1 et sans facteur carré. Prouver que $\sqrt{a}$ est irrationnel.
3°/ De même si a est sans facteur cubique, prouver que $\sqrt[3]{a}$ est irrationnel.
EXERCICE 2
Soit x un rationnel, on pose Ax={nx-E(nx),n∈N* }(où E désigne la partie entière,nx-E(nx)désigne alors la partie décimale de nx)
1°/ Montrer que inf Ax=0
2°/ En déduire que Ax est dense dans [0;1]
calcul dans IR
Re: calcul dans IR
Bonjour
Exercice 1
1°/ Une démonstration par l'absurde.
Supposons que parmi les rationnels inférieurs à $\frac{1}{2}$, il en existe un $\frac{p}{q}$ plus grand que tous les autres.
L'intervalle $]\frac{p}{q}, \frac{1}{2}[$ ne contient alors aucun rationnel, en contradiction avec $\mathbb Q$ dense dans $\mathbb R$.
2°/ Supposons $\sqrt a$ rationnel soit $\sqrt a=\frac{p}{q}$, $p$ et $q$ entiers naturels premiers entre eux.
On a alors $a=\frac{p^2}{q^2}$ soit $aq^2=p^2$
Dans la décomposition en facteurs premiers du carré d'un naturel, tous les facteurs premiers ont un exposant pair.
$a$ étant supérieur à 1 et n'ayant aucun facteur carré, il y a donc une contradiction.
$\sqrt a$ est donc irrationnel.
3°/ Même démonstration, en élevant au cube.
Exercice 1
1°/ Une démonstration par l'absurde.
Supposons que parmi les rationnels inférieurs à $\frac{1}{2}$, il en existe un $\frac{p}{q}$ plus grand que tous les autres.
L'intervalle $]\frac{p}{q}, \frac{1}{2}[$ ne contient alors aucun rationnel, en contradiction avec $\mathbb Q$ dense dans $\mathbb R$.
2°/ Supposons $\sqrt a$ rationnel soit $\sqrt a=\frac{p}{q}$, $p$ et $q$ entiers naturels premiers entre eux.
On a alors $a=\frac{p^2}{q^2}$ soit $aq^2=p^2$
Dans la décomposition en facteurs premiers du carré d'un naturel, tous les facteurs premiers ont un exposant pair.
$a$ étant supérieur à 1 et n'ayant aucun facteur carré, il y a donc une contradiction.
$\sqrt a$ est donc irrationnel.
3°/ Même démonstration, en élevant au cube.
Re: calcul dans IR
L'exercice 2 comporte une erreur car, par exemple, si $x$ est un entier (donc un rationnel) alors $A_x=\{0\}$