Bonsoir j'aimerais de l'aide pour ces exos. Merci d'avance
EXERCICE 1
1°/ Soit n∈N*.Montrer que la partie entière de $(2+\sqrt{3})^{n}$ est un entier impair.
2° Montrer que pour tout entier n∈N il existe p∈N* tel que $(1+\sqrt{2})^{n}$=$\sqrt{p}$ + $\sqrt{p-1}$ .
(Indication : penser à écrire $(1+\sqrt{2})^{n}$=$a_{n}$+$b_{n}$$\sqrt{2}$ où $a_{n}$ et $b_{n}$ sont des entiers)
EXERCICE 2
Soit f une application croissante de [0; 1] dans lui même. On considère l'ensemble A={x ∈ [0;1] / f(x)≥x}
1°/ Montrer que A possède une bonne supérieure b.
2°/ Montrer que f(b)=b (b est un point fixe de f)
calcul dans IR
Re: calcul dans IR
Bonjour
Exercice 2
1°) $0\in A$ donc $A$ n'est pas vide et est majoré par 1 donc admet une borne supérieure $b$.
2°) Si $f(b)<b$, puisque $f$ est croissante, $\forall t \in ]f(b),b],\ t\leq b\Longrightarrow f(t)\leq f(b)<t$ donc l'intervalle $]f(b), b]$ ne contient aucun élément de $A$ d'où $sup(A)\leq f(b)<b$ et on a une contradiction.
Si $f(b)>b$, $\forall t\in ]b, f(b)],\ f(t)\geq f(b) \geq t$ donc $t\in A$ et $t>b$ donc $b$ n'est pas la borne supérieure d'où la contradiction.
On a donc $f(b)=b$
Exercice 2
1°) $0\in A$ donc $A$ n'est pas vide et est majoré par 1 donc admet une borne supérieure $b$.
2°) Si $f(b)<b$, puisque $f$ est croissante, $\forall t \in ]f(b),b],\ t\leq b\Longrightarrow f(t)\leq f(b)<t$ donc l'intervalle $]f(b), b]$ ne contient aucun élément de $A$ d'où $sup(A)\leq f(b)<b$ et on a une contradiction.
Si $f(b)>b$, $\forall t\in ]b, f(b)],\ f(t)\geq f(b) \geq t$ donc $t\in A$ et $t>b$ donc $b$ n'est pas la borne supérieure d'où la contradiction.
On a donc $f(b)=b$
Re: calcul dans IR
Exercice 1 : 1°
Par la formule du binôme, on peut écrire $(2+\sqrt 3)^n$ sous la forme $a_n+b_n\sqrt 3$ avec $a_n$ et $b_n$ entiers.
Et de même on aura $(2-\sqrt 3)^n =a_n-b_n\sqrt 3$
Donc $\forall n \in {\mathbb N}*,\ (2+\sqrt 3)^n +(2-\sqrt 3)^n =2a_n$ C'est donc un entier pair.
On a donc $(2+\sqrt 3)^n =2p- (2-\sqrt 3)^n$
Or $0<2-\sqrt 3 <1$ et de même $0<(2-\sqrt 3)^n<1$ donc $ 2p-1<(2+\sqrt 3)^n <2p$
La partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est donc égale à $2p-1$, c'est un entier impair.
Par la formule du binôme, on peut écrire $(2+\sqrt 3)^n$ sous la forme $a_n+b_n\sqrt 3$ avec $a_n$ et $b_n$ entiers.
Et de même on aura $(2-\sqrt 3)^n =a_n-b_n\sqrt 3$
Donc $\forall n \in {\mathbb N}*,\ (2+\sqrt 3)^n +(2-\sqrt 3)^n =2a_n$ C'est donc un entier pair.
On a donc $(2+\sqrt 3)^n =2p- (2-\sqrt 3)^n$
Or $0<2-\sqrt 3 <1$ et de même $0<(2-\sqrt 3)^n<1$ donc $ 2p-1<(2+\sqrt 3)^n <2p$
La partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est donc égale à $2p-1$, c'est un entier impair.
Re: calcul dans IR
Exercice 1 2°)
Avec la formule du binôme on a les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $(1+\sqrt 2)^n =a_n+b_n\sqrt 2$ avec $a_n$ et $b_n$ entiers naturels.
On a alors $(1+\sqrt 2)^{n+1} =(a_n+b_n\sqrt 2)(1+\sqrt 2) (a_n+2b_n)+(a_n+b_n)\sqrt 2$
On en déduit les relations de récurrence : $\left\{\begin{array}{rcl}a_{n+1}&=&a_n+2b_n \\ b_{n+1}&=&a_n+b_n\end{array}\right.$
Pour $n=0$, $(1+\sqrt 2)^0=1$ donc $a_0^2-(b_0\sqrt 2)^2=1$
Pour $n=1$, $a_1^2-(b_1\sqrt 2)^2=1-2=-1$
On démontre par récurrence que, pour tout $n$, $a_n^2-(b_n\sqrt 2)^2=\pm 1$
L'initialisation est établie.
On suppose la propriété vérifiée au rang $n$ soit $a_n^2-(b_n\sqrt 2)^2 =\pm 1$ soit $a_n^2-2b_n^2=\pm 1$
$a_{n+1}^2 -(b_{n+1}\sqrt 2)^2 =a_{n+1}^2-2b_{n+1}^2=(a_n+2b_n)^2 -2(a_n+b_n^2)=-a_n^2+2b_n^2=\pm 1$. L'égalité est donc vérifiée au rang $n+1$
Si $a_n^2-2b_n^2=1$, $a_n^2=2b_n^2+1$ et $a_n+b_n\sqrt 2 =\sqrt{2b_n^2+1} +\sqrt{2b_n^2}$
Si $a_n^2-2b_n^2=-1$, $a_n^2=2b_n^2-1$ et $a_n+b_n\sqrt 2 =\sqrt{2b_n^2-1} +\sqrt{2b_n^2}$
Dans chaque cas, on a la somme des racines de 2 entiers naturels consécutifs.
Avec la formule du binôme on a les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $(1+\sqrt 2)^n =a_n+b_n\sqrt 2$ avec $a_n$ et $b_n$ entiers naturels.
On a alors $(1+\sqrt 2)^{n+1} =(a_n+b_n\sqrt 2)(1+\sqrt 2) (a_n+2b_n)+(a_n+b_n)\sqrt 2$
On en déduit les relations de récurrence : $\left\{\begin{array}{rcl}a_{n+1}&=&a_n+2b_n \\ b_{n+1}&=&a_n+b_n\end{array}\right.$
Pour $n=0$, $(1+\sqrt 2)^0=1$ donc $a_0^2-(b_0\sqrt 2)^2=1$
Pour $n=1$, $a_1^2-(b_1\sqrt 2)^2=1-2=-1$
On démontre par récurrence que, pour tout $n$, $a_n^2-(b_n\sqrt 2)^2=\pm 1$
L'initialisation est établie.
On suppose la propriété vérifiée au rang $n$ soit $a_n^2-(b_n\sqrt 2)^2 =\pm 1$ soit $a_n^2-2b_n^2=\pm 1$
$a_{n+1}^2 -(b_{n+1}\sqrt 2)^2 =a_{n+1}^2-2b_{n+1}^2=(a_n+2b_n)^2 -2(a_n+b_n^2)=-a_n^2+2b_n^2=\pm 1$. L'égalité est donc vérifiée au rang $n+1$
Si $a_n^2-2b_n^2=1$, $a_n^2=2b_n^2+1$ et $a_n+b_n\sqrt 2 =\sqrt{2b_n^2+1} +\sqrt{2b_n^2}$
Si $a_n^2-2b_n^2=-1$, $a_n^2=2b_n^2-1$ et $a_n+b_n\sqrt 2 =\sqrt{2b_n^2-1} +\sqrt{2b_n^2}$
Dans chaque cas, on a la somme des racines de 2 entiers naturels consécutifs.