suite recurrence polynomiale

[noir d'encre]

Bonsoir,
pouvez-vous m'aider à cette partie du ds que je n'ai pas bien réussi?
d'avance merci
http://www.hostingpics.net/viewer.php?i ... SC0081.jpg

[Job]

Bonjour

Je ne peux pas répondre aux questions 1, 5, 6 et 7 car elles demandent de connaître la première partie dont je n'ai pas le texte.

2.
Pour $U^{(0)}$ on doit avoir, pour tout $n$ : $1=a+\gamma +\delta n$ donc on doit avoir $\delta =0$ et $\gamma = 1-a$
Pour $U^{(1)}$ on doit avoir, pour tout $n$ : $n+1=an+\gamma +\delta n$ donc $a+\delta =1$ soit $\delta =1-a$ et $\gamma = 1$.
Pour $V$ on doit avoir, pour tout $n$, $a^{n+1}=a\cdot a^n +\gamma +\delta n$ donc $\delta = \gamma =0$
Les 3 suites appartiennent bien à $F$.

3. On considère la combinaison linéaire nulle : $xU^{(0)}+y U^{(1)}+zV=0$
En écrivant cette combinaison pour successivement $n=0, 1 , 2$ on obtient le système d'inconnues $x,y,z$ :
$\left\{\begin{array}{rcl}x+z&=&0 \\ x+y+az&=&0 \\ x+2y+a^2z&=&0\end{array}\right.$ qui conduit à $\left\{\begin{array}{rcl}z&=&-x\\ y&=&(a-1)x \\ -(a-1)^2x&=&0\end{array}\right.$
$a$ étant différent de 1, on obtient $x=y=z=0$. La famille est donc libre et $dim(F)\geq 3$

4.
Pour $n=0$, $u_1=au_0+\gamma$ donc $\gamma = u_1-au_0$
Pour $n=1$, $u_2=au_1+\gamma +\delta$ donc $\delta = u_2-au_1-\gamma= u_2-(a+1)u_1+au_0$
$\gamma$ et $\delta$ sont donc uniques.

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup
on définit l'ensemble suivant:
E={u${\in R^N} $|${\exists\gamma\in R} $ tq ${\forall n \in N, u_{n+1}=a.u_n + \gamma} $}
on notera ${\forall u \in E, \gamma_u} $ l'unique réel tq ${\forall n \in N, u_{n+1}=a.u_n + \gamma_u} $
on définit également l'application
${\phi} $ : E${\rightarrow R^2} $
u${\mapsto} $ ${(u_0,\gamma_u)} $

[Job]

1. Si $u\in E$ alors $u\in F$ avec $\delta =0$. Donc $E\subset F$ et par conséquent $\dim (F)\geq 2$

4. Je reprends cette question car le calcul que j'ai fait précédemment à la question 4. est en fait, ce qui est demandé à la question 5.
Supposons qu'il n(y ait pas unicité, in aurait alors 2 couples tels que $u_{n+1}=au_n+\gamma +\delta n =au_n +\gamma '+\delta ' n$
$\forall n,\ \gamma -\gamma '=(\delta ' -\delta )n$. Donc $\delta ' -\delta =0$ soit $\delta '=\delta$ et $\gamma = \gamma '$
Il y a donc bien unicité.

5. Voir le message précédent (question 4)

6. Soit l'application $\phi\ :\ \left\{\begin{array}{rcl}F&\to& {\mathbb R}^3 \\ u &\mapsto& (u_0,\gamma_u, \delta_u)\end{array}\right.$
Cette application est bijective donc $\dim (F)=3$
$(U^{(0)}, U^{(1)}, V)$ est une partie libre de 3 éléments donc c'est une base.

7. On a : $u_0=-2,a=2, \delta_u=-2, \gamma_u=7$
Dans la base $(U^{(0)}, U^{(1)}, V)$ on a $u_n=x+yn+z\cdot 2^n$
En utilisant les relations établies à la question 5, on a : $u_1=\gamma_u+au_0=7-4=3$ et $u_2=\delta_u+(a+1)u_1-au_0=11$
Donc en donnant à $n$ les valeurs 0, 1, 2 on obtient le système : $\left\{\begin{array}{rcl} x+z&=& -2 \\ x+y+2z &=& 3 \\ x+2y +4z &=&11\end{array}\right.$
Ce qui donne : $x=-5,\ y=2,\ z=3$ donc $u_n=-5+2n+3\cdot 2^n$

[noir d'encre]

Bonsoir,
merci beaucoup