Bonsoir,
Je n'arrive pas à cette partie d'un problème
pour tout t ${\in} $ R, (x1(t),x2(t)) est un élément de ${R^2} $ et peut donc être décomposé dans la sommes E1 ${\oplus} $E2
E1=Vect(${\overrightarrow e1} $) et E2=Vect(${\overrightarrow e2} $). On notera pour tout t ${\in} $ R, y1(t) et y2(t) les deux réels tq (x1(t),x2(t))=y1(t).$\overrightarrow{e1}$+y2(t). $\overrightarrow{e2} $
1. Calculer explicitement y1(t) et y2(t) en fonction de x1(t) et x2(t)
2.que valent y1(0),y2(0),y'1(0),y'2(0)?
3 . deriver deux fois y1 et y2, montrer que ces fonctions verifient une équation différentielle simple
4. En déduire une formule explicite pour y1 et y2
5 . finalement, donner les valeurs de x1 et x2
si vous pouviez m'aider, merci
problème
Re: problème
Bonsoir
Je pense que ce n'est pas le début du problème car je ne vois pas du tout ce que l'on peut faire. Il faudrait me donner le début du problème.
Je pense que ce n'est pas le début du problème car je ne vois pas du tout ce que l'on peut faire. Il faudrait me donner le début du problème.
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noir d'encre
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Re: problème
Ah mince désolée 
on a ${\forall} $ t ${\in} $ R, x"1(t)=-$\frac{2k}{m} $x1(t)+$\frac{k}{m} $x2(t)
X"2 (t)=$\frac{k}{m} $x1(t)-$\frac{2k}{m} $x2(t)
rappel pb: on dispose de trois ressorts identiques de constante de raideur k et de longueur au repos l. On dispose également de deux objets de même masse (m).
Pour tout t ${\in} $ R, on note x1(t) la distance à l'instant t entre la position du premier objet et sa position d'équilibre
conditions initiales x1(0)=0 x'1(0)=0 x2(0)=1 x'2(0)=0
on a ${\forall} $ t ${\in} $ R, x"1(t)=-$\frac{2k}{m} $x1(t)+$\frac{k}{m} $x2(t)
X"2 (t)=$\frac{k}{m} $x1(t)-$\frac{2k}{m} $x2(t)
rappel pb: on dispose de trois ressorts identiques de constante de raideur k et de longueur au repos l. On dispose également de deux objets de même masse (m).
Pour tout t ${\in} $ R, on note x1(t) la distance à l'instant t entre la position du premier objet et sa position d'équilibre
conditions initiales x1(0)=0 x'1(0)=0 x2(0)=1 x'2(0)=0
Re: problème
Bonjour.
La réponse à cette question dépend un peu de votre niveau de formation ; si vous n'avez pas encore abordé en algèbre linéaire la notion de diagonalisation il est vraisemblable qu'on vous ait donné dans l'énoncé les expressions des vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$. Comme vous ne les avez pas précisés dans l"énoncé, je vais commencer par les déterminer. S'ils figurent dans votre énoncé vous pouvez sauter le premier paragraphe.
Si on pose $X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\ x_2(t)\end{pmatrix}$, le système différentiel peut s'écrire : $X''(t)=\dfrac km\begin{pmatrix}-2&1\\ 1&-2\end{pmatrix}X(t)$ ; nous allons commencer par diagonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}-2&1\\ 1&-2\end{pmatrix}$. Les deux valeurs propres de cette matrice sont $-1$ et $-3$ et on calcule sans peine deux vecteurs propres correspondant à ces deux valeurs : $\vec e_1=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec e_2=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$. Géométriquement, ces deux vecteurs forment une nouvelle base obtenue par une rotation d'angle $\tfrac\pi2$ à partir de la base canonique, $X(t)$ représente les coordonnées d'un point dans la base canonique et la première question demande de calculer les coordonnées $Y(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\ y_2(t)\end{pmatrix}$ dans la nouvelle base $(\vec e_1,\vec e_2)$.
Compte tenu des expressions de $\vec e_1$ et $\vec e_2$, nous avons :
\[\left\{\begin{aligned}x_1(t)&=\frac1{\sqrt 2}(y_1(t)-y_2(t))\\ x_2(t)&=\frac1{\sqrt 2}(y_1(t)+y_2(t))\end{aligned}\right.\]
On résout le système linéaire pour obtenir :
\[\left\{\begin{aligned}y_1(t)&=\frac1{\sqrt 2}(x_1(t)+x_2(t))\\ y_2(t)&=\frac1{\sqrt 2}(-x_1(t)+x_2(t))\end{aligned}\right.\]
Les valeurs initiales de $x_1$ et $x_2$ conduisent à : $y_1(0)=\tfrac1{\sqrt 2}$, $y'_1(0)=0$, $y_2(0)=\tfrac1{\sqrt 2}$, $y'_2(0)=0$, et on calcule :
\[y''_1(t)=\tfrac1{\sqrt2}(x''_1(t)+x''_2(t))=-\tfrac k{m\sqrt2}(x_1(t)+x_2(t))=-\frac kmy_1(t)\]
\[y''_2(t)=\tfrac1{\sqrt2}(-x''_1(t)+x''_2(t))=-\tfrac {3k}{m\sqrt2}(-x_1(t)+x_2(t))=-\frac {3k}my_2(t)\]
Il reste à résoudre ces deux équations différentielles : $y_1(t)=a\cos(\omega_1 t)+b\sin(\omega_1t)$ et $y_2(t)=c\cos(\omega_2 t)+d\sin(\omega_2t)$ avec $\omega_1=\sqrt{\tfrac km}$ et $\omega_2=\sqrt{\tfrac {3k}m}$ puis à déterminer les quatre constantes $a$, $b$, $c$ et $d$ à l'aide des conditions initiales. On trouve finalement : $a=c=\frac1{\sqrt 2}$ et $b=d=0$, ce qui donne $y_1(t)=\tfrac1{\sqrt 2}\cos(\omega_1t)$ et $y_2(t)=\tfrac1{\sqrt 2}\cos(\omega_2t)$.
Il reste enfin à calculer $x_1$ et $x_2$ ; sauf erreur on trouve $x_1(t)=\frac12(\cos(\omega_1t)-\cos(\omega_2t))$ et $x_2(t)=\frac12(\cos(\omega_1t)+\cos(\omega_2t))$.
La réponse à cette question dépend un peu de votre niveau de formation ; si vous n'avez pas encore abordé en algèbre linéaire la notion de diagonalisation il est vraisemblable qu'on vous ait donné dans l'énoncé les expressions des vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$. Comme vous ne les avez pas précisés dans l"énoncé, je vais commencer par les déterminer. S'ils figurent dans votre énoncé vous pouvez sauter le premier paragraphe.
Si on pose $X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\ x_2(t)\end{pmatrix}$, le système différentiel peut s'écrire : $X''(t)=\dfrac km\begin{pmatrix}-2&1\\ 1&-2\end{pmatrix}X(t)$ ; nous allons commencer par diagonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}-2&1\\ 1&-2\end{pmatrix}$. Les deux valeurs propres de cette matrice sont $-1$ et $-3$ et on calcule sans peine deux vecteurs propres correspondant à ces deux valeurs : $\vec e_1=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec e_2=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$. Géométriquement, ces deux vecteurs forment une nouvelle base obtenue par une rotation d'angle $\tfrac\pi2$ à partir de la base canonique, $X(t)$ représente les coordonnées d'un point dans la base canonique et la première question demande de calculer les coordonnées $Y(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\ y_2(t)\end{pmatrix}$ dans la nouvelle base $(\vec e_1,\vec e_2)$.
Compte tenu des expressions de $\vec e_1$ et $\vec e_2$, nous avons :
\[\left\{\begin{aligned}x_1(t)&=\frac1{\sqrt 2}(y_1(t)-y_2(t))\\ x_2(t)&=\frac1{\sqrt 2}(y_1(t)+y_2(t))\end{aligned}\right.\]
On résout le système linéaire pour obtenir :
\[\left\{\begin{aligned}y_1(t)&=\frac1{\sqrt 2}(x_1(t)+x_2(t))\\ y_2(t)&=\frac1{\sqrt 2}(-x_1(t)+x_2(t))\end{aligned}\right.\]
Les valeurs initiales de $x_1$ et $x_2$ conduisent à : $y_1(0)=\tfrac1{\sqrt 2}$, $y'_1(0)=0$, $y_2(0)=\tfrac1{\sqrt 2}$, $y'_2(0)=0$, et on calcule :
\[y''_1(t)=\tfrac1{\sqrt2}(x''_1(t)+x''_2(t))=-\tfrac k{m\sqrt2}(x_1(t)+x_2(t))=-\frac kmy_1(t)\]
\[y''_2(t)=\tfrac1{\sqrt2}(-x''_1(t)+x''_2(t))=-\tfrac {3k}{m\sqrt2}(-x_1(t)+x_2(t))=-\frac {3k}my_2(t)\]
Il reste à résoudre ces deux équations différentielles : $y_1(t)=a\cos(\omega_1 t)+b\sin(\omega_1t)$ et $y_2(t)=c\cos(\omega_2 t)+d\sin(\omega_2t)$ avec $\omega_1=\sqrt{\tfrac km}$ et $\omega_2=\sqrt{\tfrac {3k}m}$ puis à déterminer les quatre constantes $a$, $b$, $c$ et $d$ à l'aide des conditions initiales. On trouve finalement : $a=c=\frac1{\sqrt 2}$ et $b=d=0$, ce qui donne $y_1(t)=\tfrac1{\sqrt 2}\cos(\omega_1t)$ et $y_2(t)=\tfrac1{\sqrt 2}\cos(\omega_2t)$.
Il reste enfin à calculer $x_1$ et $x_2$ ; sauf erreur on trouve $x_1(t)=\frac12(\cos(\omega_1t)-\cos(\omega_2t))$ et $x_2(t)=\frac12(\cos(\omega_1t)+\cos(\omega_2t))$.
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noir d'encre
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Re: problème
Bonsoir,
merci je suis en maths sup, non je n'ai pas vu la notion de diagonalisation. Je devais montrer à la question précédente que (e1, e2)est une base de ${R^2}$, et donner Mate1, e2 f, mais je n'avais pas bien réussi. Je n'ai pas compris les valeurs propres sont -1 et -3, ni la rotation d'angle
merci je suis en maths sup, non je n'ai pas vu la notion de diagonalisation. Je devais montrer à la question précédente que (e1, e2)est une base de ${R^2}$, et donner Mate1, e2 f, mais je n'avais pas bien réussi. Je n'ai pas compris les valeurs propres sont -1 et -3, ni la rotation d'angle
Re: problème
Vous avez la valeur des vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$ ? Ils doivent être vraisemblablement proportionnels à ceux que j'ai trouvé.
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noir d'encre
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Re: problème
Oui ${\overrightarrow e1} $=(1,1) et ${\overrightarrow e2} $=(1,-1)
Re: problème
En suivant la démarche que j'ai initiée vous devriez obtenir le même résultat final.
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noir d'encre
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Re: problème
D'accord mais je ne comprends pas l'apparition de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 
Re: problème
Vous apprendrez l'année prochaine que lorsqu'une matrice est symétrique il est possible de trouver une base orthonormée pour laquelle la matrice dans cette nouvelle base est diagonale. Ce facteur $\tfrac1{\sqrt 2}$ n'est présent que pour normaliser les vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$, mais dans cet exercice il n'est pas indispensable : si $(\vec e_1,\vec e_2)$ est une base, il en est de même de $(\lambda\vec e_1,\mu\vec e_2)$ si $\lambda\ne0$ et $\mu\ne0$.
Refaites les mêmes calculs que j'ai effectué avec les vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$ de votre énoncé, au final vous retrouverez le même résultat.
Refaites les mêmes calculs que j'ai effectué avec les vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$ de votre énoncé, au final vous retrouverez le même résultat.