interpolation de lagrange

[noir d'encre]

Bonjour,
Je n'arrive pas à répondre aux questions 5 et 6, si vous pouviez m'aider,
d'avance merci

[Job]

Bonsoir
Question 5
a) Par définition de $L_i$, pour $j\neq i,\ L_i(a_j)=0$ donc les $a_j\ (j\neq i)$ sont racines de $L_i$. Ce qui fait $n$ racines.
Or $L_i$ est un polynôme de degré au plus $n$ donc il a $n$ racines au maximum. On a donc bien toutes les racines de $L_i$

b) $L_i$ est donc de la forme $\lambda_i(X-a_1)\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_n)$
$L_i(a_i)=1$ soit $\lambda_i (a_i-a_1)\cdots (a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots (a_i-a_n)=1$ donc $\lambda_i=\frac{1}{(a_i-a_1)\cdots (a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots (a_i-a_n)}$
$L_i(X)=\frac{(X-a_1)\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_n)}{(a_i-a_1)\cdots (a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots (a_i-a_n)}$

Question 6
D'après la question 1, $\phi$ est un isomorphisme donc il existe un unique polynôme $P$ tel que $P(a_1)=y_1,\cdots , P(a_{n+1})=y_{n+1}$
D'après la question 4, $(L_1, \cdots , L_{n+1})$ est une base de ${\mathbb K}_n[X]$ donc $P=\sum_{k=1}^{n+1} b_kL_k$
$P(a_i)=\sum_{k=1}^{n+1} b_kL_k(a_i)=b_i$ car seul $L_i(a_i)\neq 0$ et $L_i(a_I)=1$.
On en déduit que $b_i=y_i$.
Par conséquent $P=\sum_{i=1}^{n+1} y_iL_i$

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup