Bonsoir, j'ai un exercice à faire et je bloque complètement, on a : $F= (P_{0}, P_{1}, ..., P_{n})$ telle que $ \forall i \in N, deg(P_{i})=i$
$P_{0}=1$
$ P_{1}=X $
$ P_{2}= \frac{1}{2}X(X-1) $
$ P_{3}= \frac{1}{6}X(X-1)(X-2) $
Soit Y une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale (n,p), il faut que je détermine pour tout i appartenant à {0,1,2,3}, $E(P_{i}(Y))$ mais je ne vois pas du tout comment faire, pouvez -vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance
Polynôme et espérance
Re: Polynôme et espérance
Bonsoir
* $E(P_0(Y))=1$ et $E(P_1(Y))=E(Y)=np$
* Pour la suite on utilise la formule de transfert : $E(g(X))=\sum g(x_k)P(X=x_k)$
$E(P_2(Y))=\frac{1}{2} \sum_{k=2}^n k(k-1){n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$
Une petite relation utile facile à démontrer : $k{n\choose k}=n{n-1 \choose k-1}$. On l'applique 2 fois :
$(k-1)k{n \choose k} =(k-1)(n){n-1 \choose k-1}=n(k-1){n-1 \choose k-1}=n(n-1){n-2 \choose k-2}$
On a alors $E(P_2(Y))=\frac{1}{2} n(n-1)\sum_{k=2}^n{n-2 \choose k-2} p^k (1-p)^{n-k}$
On met $p^2$ en facteur et on pose $(k-2)=h$ : $E(P_2(Y))=\frac{1}{2} n(n-1)p^2\sum_{h=0}^{n-2} {n-2 \choose h}p^h(1-p)^{n-2-h}$
$\sum_{h=0}^{n-2} {n-2 \choose h}p^h(1-p)^{n-2-h}$ est le développement de $(p+(1-p))^{n-2}$ et vaut donc 1.
Il reste $E(P_2(Y))=\frac{1}{2} n(n-1)p^2$
* La méthode est la même
$E(P_3(Y))=\frac{1}{6} \sum_{k=3}^n k(k-1)(k-2){n\choose k} p^k(1-p)^{n-k}$
En reprenant un résultat établi précédemment :
$(k-2)(k-1)(k){n\choose k}=n(n-1)(k-2){n-2 \choose k-2}=n(n-1)(n-2){n-3 \choose k-3}$
$E(P_3(Y))=\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)\sum_{k=3}^n {n-3 \choose k-3} p^k(1-p)^{n-k}$
On met $p^3$ en facteur et on pose $k-3=h$ : $E(P_3(Y))=\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)p^3\sum_{h=0}^{n-3}{n-3 \choose h} p^h (1-p)^{n-3-h}$
De même que précédemment, la somme est égale à 1 donc $E(P_3(Y))=\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)p^3$
* $E(P_0(Y))=1$ et $E(P_1(Y))=E(Y)=np$
* Pour la suite on utilise la formule de transfert : $E(g(X))=\sum g(x_k)P(X=x_k)$
$E(P_2(Y))=\frac{1}{2} \sum_{k=2}^n k(k-1){n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$
Une petite relation utile facile à démontrer : $k{n\choose k}=n{n-1 \choose k-1}$. On l'applique 2 fois :
$(k-1)k{n \choose k} =(k-1)(n){n-1 \choose k-1}=n(k-1){n-1 \choose k-1}=n(n-1){n-2 \choose k-2}$
On a alors $E(P_2(Y))=\frac{1}{2} n(n-1)\sum_{k=2}^n{n-2 \choose k-2} p^k (1-p)^{n-k}$
On met $p^2$ en facteur et on pose $(k-2)=h$ : $E(P_2(Y))=\frac{1}{2} n(n-1)p^2\sum_{h=0}^{n-2} {n-2 \choose h}p^h(1-p)^{n-2-h}$
$\sum_{h=0}^{n-2} {n-2 \choose h}p^h(1-p)^{n-2-h}$ est le développement de $(p+(1-p))^{n-2}$ et vaut donc 1.
Il reste $E(P_2(Y))=\frac{1}{2} n(n-1)p^2$
* La méthode est la même
$E(P_3(Y))=\frac{1}{6} \sum_{k=3}^n k(k-1)(k-2){n\choose k} p^k(1-p)^{n-k}$
En reprenant un résultat établi précédemment :
$(k-2)(k-1)(k){n\choose k}=n(n-1)(k-2){n-2 \choose k-2}=n(n-1)(n-2){n-3 \choose k-3}$
$E(P_3(Y))=\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)\sum_{k=3}^n {n-3 \choose k-3} p^k(1-p)^{n-k}$
On met $p^3$ en facteur et on pose $k-3=h$ : $E(P_3(Y))=\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)p^3\sum_{h=0}^{n-3}{n-3 \choose h} p^h (1-p)^{n-3-h}$
De même que précédemment, la somme est égale à 1 donc $E(P_3(Y))=\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)p^3$
Re: Polynôme et espérance
Ok merci beaucoup 