[Agro-Véto] Une intégrale double en polaire

[Jon83]

Bonjour!
Soit un paramètre R>0. Calculer les intégrales doubles suivantes:
1) I1=somme double sur D de (x²y²dxdy) avec D={(x,y) de R² tels que x²+y²<=1}

Ici, le domaine est un cercle de rayon 1; x²=R²cos²(téta)=cos²(téta) et y²=R²sin²(téta)=sin²(téta).
Donc I1=somme de 0 à 1{ somme de 0 à 2pi de [cos²(téta)*sin²(téta) dtéta] r.dr }
J'ai trouvé que cos²(téta)*sin²(téta)=1/4(sin(2.téta)², mais je n'arrive pas à trouver une primitive....
Merci pour votre aide!

[Job]

Bonjour

Dans l'intégrale il ne faut pas remplacer $r$ par 1 car $r$ varie entre 0 et 1.
On obtient donc à intégrer $r^5\cos^2\theta \sin^2\theta$
$\sin^2(2\theta)=\frac{1}{2}(1-\cos (4\theta))$

[Jon83]

En effet, je n'ai pas pensé au fait que r varie de 0 à r....manque d'expérience!
Pour la formule trigo, j'ai un peu galéré pour la retrouver: c'est pas évident... Y a t-il une technique pour les retenir ou les retrouver rapidement?.
Bon finalement, je trouve I1=pi/24 (vérifié avec wolframalpha).
Je passe à la suivante! Et merci encore pour ton aide...

[Job]

C'est aussi ce que j'ai trouvé.
Une formule de trigo qui sert très souvent c'est la formule de duplication de cosinus car elle permet de passer d'un cosinus ou d'un sinus au carré à un cosinus sans carré.
$\cos (2a)=\cos^2a -\sin^2a =2\cos^2 a -1=1-2\sin^2 a$ donc $\cos^2 a=\frac{1}{2} (cos (2a)+1)$ et $\sin^2 a=\frac{1}{2} (1-\cos (2a))$