méthode d'élimination gauss-jordan 1

[Propolis]

Bonjour,
Je bloque sur 3 questions où il faut résoudre des systèmes linéaires. Je remercie d'avance quiconque qui pourrait m'aider à comprendre le système d'élimination de gauss avec les matrices.
Les voici avec ce que j'ai fait

1. x3+x4=0
x2+x3 =0
x1+x2=0
x1+x4=0
(bien sur dans l'énoncé les x de même indice sont alignés, les x1 en dessous des x1 et les x2 en dessous des x2,les x3 en dessous des x3).
Là j'ai tout exprimé en fonction de x3.
x4=-x3
x2=-x3
x1=x3
x3
Après je ne savais pas quoi faire

2. x1-7x2+x5=0
x3-2x5=0
x4-x5=0

Là il y avait déjà le triangulaire supérieur si je touchais aux autres lignes les 0 en dessous de la diagonale auraient disparus. J'ai essayé d'exprimer un x en fonction d'un autre mais ce n'était pas comme dans le 1 du coup j'avais x5=- x3/2 et x4=- x3/2 et x1-7x2=x3/2
Mais je n'ai pas réussi à isoler le x1 et x2.

3. x1-7x2+x5=0 L1
x3+ 4x4=0L2
x3+3x4=0L3
x1-7x2=3L4

Ensuite j'ai changé la troisième ligne en faisant L3-L2
ce qui a donné x1-7x2+x5=0 (reste pareil)
x3+ 4x4=0(reste pareil)
0*x3+ (-)3x4=0 (nouveau L3)
x1-7x2=3 (reste pareil)

Mais après je ne sais pas comment faire pour enlever plus de chiffres, pour qu'il n'y ait que des 0 en dessous de la diagonale.

Merci d'avoir lu et bonne soirée

[Job]

Bonsoir

1) $x_1,x_2,x_4$ étant exprimés en fonction de $x_3$, le système est indéterminé. À chaque valeur de $x_3$ correspond une solution du système.
$S=\{(\alpha, -\alpha, \alpha, -\alpha)\ ,\ \alpha \in {\mathbb R}\}$

2) $\left\{\begin{array}{rcl}x_1&=&7x_2-x_5 \\ x_3&=&2x_5 \\ x_4&=& x_5\end{array}\right.$
$x_4$ et $x_3$ sont déterminés en fonction de $x_5$ et $x_1$ est déterminé en fonction de $x_2$ et $x_5$. On peut donc attribuer des valeurs arbitraires à $x_2=\alpha$ et $x_5=\beta$
$S=\{(7\alpha -\beta, \alpha , 2\beta , \beta , \beta)\ ,\ (\alpha, \beta)\in {\mathbb R}^2\}$

3) Avec la nouvelle $L_3$ on obtient $x_4=0$ et on déduit $x_3=0$
Il reste le système $\left\{\begin{array}{rcl}x_1-7x_2&=&-x_5 \\ x_1-7x_2&=&3\end{array}\right.$
On obtient donc $x_5=-3$ et $x_1$ et $x_2$ sont liés par l'équation $x_1-7x_2=3$
On donne une valeur arbitraire à $x_2=\alpha$
$S=\{(7\alpha +3,\alpha, 0,0,-3)\ ,\ \alpha \in {\mathbb R}\}$

[Propolis]

Oui ça c'était la méthode que je voulais utiliser, mais la méthode demandé avec ces systèmes d'équations linéaires était la méthode d'élimination de Gauss Jordan que je ne sais pas utiliser. Comment fait-on?

En tout cas un grand merci pour votre réponse même si je reste toujours perplexe sur comment résoudre cet exercice avec la méthode de gauss jordan.

[Job]

1) Je réécris les lignes dans un autre ordre (je ne respecte pas l'alignement)
$\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2 &=&0 \\ x_1+x_4&=& 0\\x_2+x_3\ &=&0 \\ x_3+x_4&=&0\end{array}\right.$
$L_2\leftarrow L_2-L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2&=&0\\ -x_2+x_4&=& 0\\ x_2+x_3&=&0 \\ x_3+x_4&=&0\end{array}\right.$

$L_3\leftarrow L_3+L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2&=&0\\ -x_2+x_4&=& 0\\ x_3+x_4&=&0 \\ x_3+x_4&=&0\end{array}\right.$
C'est terminé, $x_3,x_2,x_1$ s'expriment en fonction de $x_4$

2) Il n'y a rien à faire puisque on a immédiatement $\left\{\begin{array}{rcl}x_1-7x_2&=&-x_5 \\ x_3&=&2x_5 \\ x_4&=&x_5\end{array}\right.$

3)$\left\{\begin{array}{rcl}x_1-7x_2+x_5&=&0 \\ x_3+4x_4&=&0 \\ x_3+3x_4&=&0 \\ x_1-7x_2&=&3\end{array}\right.$
$L_4\leftarrow L_4-L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x_1-7x_2+x_5&=&0 \\ x_3+4x_4&=&0 \\ x_3+3x_4&=&0 \\ -x_5&=&3\end{array}\right.$

$L_3\leftarrow L_3-L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x_1-7x_2+x_5&=&0 \\ x_3+4x_4&=&0 \\ -x_4&=&0 \\ -x_5&=&3\end{array}\right.$
Et c'est terminé.