[Agro-Véto] toujours des intégrales doubles...

[Jon83]

Bonjour!
Je dois calculer I= somme sur D[dxdy/(y²+1)] avec D={(x,y) de R² tels que |x|+|y|<=1}.
Je n'arrive pas à voir à quoi ressemble le domaine d'intégration... Merci pour votre aide!

[Job]

Bonjour

Il faut travailler dans chacun des 4 quarts de plans
Si $x\geq 0$ et $y\geq 0$, $x+y\leq 1$ soit $y\leq 1-x$
Si $x\geq 0$ et $y\leq 0$, $x-y\leq 1$ soit $y\geq x-1$
....
On obtient en définitive le quadrilatère de sommets (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

[Jon83]

Ah oui: je n'ai pas pensé à décomposer les 4 cas...Merci!
Est-ce que je peux dire alors que I=4*{somme de 0 à 1[somme de 1 à1-x(dy/y²+1)]dx} ?

[Job]

Dans ta méthode, 2 problèmes :
* Quand $x\in [0,1]$, il faut considérer $x-1\leq y \leq 1-x$
* La première intégration donne alors comme primitive $\arctan$, on a alors un problème pour la seconde intégration.

Il faut donc fixer $y$ et faire varier $x$ en fonction de $y$ en distinguant $0\leq y\leq 1$ puis $-1\leq y \leq 0$

[Job]

Une petite rectification : on peut effectivement se contenter de calculer sur 1/4 de plan mais en fixant $y$ et donc $0\leq x \leq 1-y$ puis en multipliant par 4.

[Jon83]

En effet, dans ma 1ère tentative, je tombais sur intégrale de arctan(x) que je ne sais pas calculer.
Donc, comme tu me l'as conseillé, en fixant y et en faisant varier x, ça va mieux!
J'ai écris un peu arbitrairement que I totale=4 fois I sur le 1er cadrant, mais je n'ai pas vraiment la justification?
Au final je trouve -2ln(2) mais ça me paraît bizarre cette valeur négative???

[Job]

Effectivement, c'est bizarre, la fonction à intégrer est positive.
$\int_0^1(\int_0^{1-y} \frac{1}{y^2+1} dx) dy =\int_0^1 \frac{1}{y^2+1} (1-y) dy =\int_0^1 \frac{dy}{y^2+1} -\int_0^1 \frac{y}{y^2+1} dy$
$=[\arctan y]_0^1-\frac{1}{2} [\ln (y^2+1)]_0^1=\arctan 1 -\frac{1}{2} \ln (2)=\frac{\pi}{4} -\ln 2$
Les 4 aires étant les mêmes, l'intégrale est égale à $\pi -2\ln 2$
On peut vérifier qu'avec la première méthode que j'avais indiquée, on obtient bien le même résultat.

[Jon83]

Quand y varie de 0 à 1, j'ai dit que x varie de 1 à 1-y car dans le 1er quadrant, pour y=0, x=1 et pour un y donné, x=1-y ???

[Job]

Il faut imaginer qu'on coupe le triangle de sommets (0,0), (1,0), (0,1) par une droite d'équation $y=m\ (0\leq m \leq 1)$.
Les points d'intersection avec les côtés ont pour abscisses 0 et 1-m. Donc pour le segment de droite qui se trouve à l'intérieur du triangle, l'abscisse est comprise entre 0 et $1-m$

[Jon83]

En effet, je me suis trompé...désolé.
Comment justifier formellement que les 4 aires sont égales?