Bonsoir à tous!
Trouver toutes les fonctions g: R-->R deux fois dérivables telles que la fonction f: R*xR-->R définie par f(x,y)=g(y/x) vérifie la relation:
pour tout (x,y) appartenant à R*xR : d²rond(f)/drondx² + d²rond(f)/drondy²=y/x^3.
En calculant les dérivées partielles, je trouve que la relation doit vérifier [(y²/x²)+1]g''(y/x)+(2y/x)g'(y/x)=y/x
En posant t=y/x j'obtiens (t²+1)g''(t)+2tg'(t)=t.
Comme 1+t² ne s'annule pas, on a : g''(t)+[2t/(t²+1)]g'(t)=t/(t²+1)
On voit que la fonction g'(t) est solution de y'(t)+[2t/(t²+1)]y(t)=t/(t²+1) qui est une EDL du 1er ordre.
J'essaye donc de résoudre l'EDL homogène y'(t)+[2t/(t²+1)]y(t)=0...
Là, j'hésite un peu pour la résolution: si je suppose y(t) différent de 0, je divise par y(t): y'(t)/y(t)=-2t/(t²+1).
Je sais que la primitive de y'(t)/y(t) est Ln(y(t)), mais le signe - du 2ème membre me gêne.... Comment faire?
Merci d'avance pour votre aide!
[Agro-Véto] fonctions de deux variables réelles
Re: [Agro-Véto] fonctions de deux variables réelles
Bonjour
Il est inutile de passer par l'équation homogène.
$(t^2+1)g"(t)+2tg'(t)$ est la fonction dérivée de $t\mapsto (t^2+1)g'(t)$.
On en déduit $(t^2+1)g'(t)= \frac{1}{2}t^2+k$ soit $g'(t)=\frac{1}{2}\times \frac{t^2}{t^2+1}+\frac{k}{t^2+1}$
$g'(t)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{t^2+1})+\frac{k}{t^2+1}=\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{t^2+1}$
$g(t)=\frac{1}{2} t +\alpha\ \arctan t+\beta \ ((\alpha ,\beta)\in {\mathbb R}^2)$
$g(\frac{y}{x})=\frac{1}{2} \frac{y}{x} +\alpha\ \arctan \frac{y}{x}+\beta \ ((\alpha ,\beta)\in {\mathbb R}^2)$
Il est inutile de passer par l'équation homogène.
$(t^2+1)g"(t)+2tg'(t)$ est la fonction dérivée de $t\mapsto (t^2+1)g'(t)$.
On en déduit $(t^2+1)g'(t)= \frac{1}{2}t^2+k$ soit $g'(t)=\frac{1}{2}\times \frac{t^2}{t^2+1}+\frac{k}{t^2+1}$
$g'(t)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{t^2+1})+\frac{k}{t^2+1}=\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{t^2+1}$
$g(t)=\frac{1}{2} t +\alpha\ \arctan t+\beta \ ((\alpha ,\beta)\in {\mathbb R}^2)$
$g(\frac{y}{x})=\frac{1}{2} \frac{y}{x} +\alpha\ \arctan \frac{y}{x}+\beta \ ((\alpha ,\beta)\in {\mathbb R}^2)$
Re: [Agro-Véto] fonctions de deux variables réelles
Ah oui, en effet, c'est plus direct...et plus élégant
Merci pour ta réponse!
Mais je ne pense pas que j'aurais trouvé cette solution; donc en suivant ma résolution en passant par la solution homogène, où ai-je fait une erreur pour ne pas aboutir?
Merci pour ta réponse!
Mais je ne pense pas que j'aurais trouvé cette solution; donc en suivant ma résolution en passant par la solution homogène, où ai-je fait une erreur pour ne pas aboutir?
Re: [Agro-Véto] fonctions de deux variables réelles
On peut aboutir. Pour l'équation homogène :
$\ln |y(t)|=-\ln (1+t^2) +k=\ln (\frac{1}{t^2+1})+k$. On prend l'exponentielle
$|y(t)|=k'\times \frac{1}{t^2+1}$ avec $k'$ positif donc $y(t)=A \times \frac{1}{t^2+1}$
Avec la méthode de variation de la constante, on obtient $A'\times \frac{1}{t^2+1}=\frac{t}{t^2+1}$ donc $A'=t$
$A=\frac{1}{2} t^2+\alpha$
$g'(t)=\frac{1}{2} \times \frac{t^2}{t^2+1} +\frac{\alpha}{t^2+1}$
On retrouve ce que j'avais obtenu avec l'autre méthode.
$\ln |y(t)|=-\ln (1+t^2) +k=\ln (\frac{1}{t^2+1})+k$. On prend l'exponentielle
$|y(t)|=k'\times \frac{1}{t^2+1}$ avec $k'$ positif donc $y(t)=A \times \frac{1}{t^2+1}$
Avec la méthode de variation de la constante, on obtient $A'\times \frac{1}{t^2+1}=\frac{t}{t^2+1}$ donc $A'=t$
$A=\frac{1}{2} t^2+\alpha$
$g'(t)=\frac{1}{2} \times \frac{t^2}{t^2+1} +\frac{\alpha}{t^2+1}$
On retrouve ce que j'avais obtenu avec l'autre méthode.
Re: [Agro-Véto] fonctions de deux variables réelles
OK! Merci encore...