somme directe

[noir d'encre]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire mais je bloque sur cette partie :
On pose M l'ensemble des multiples de ${X^2}$ +1
1.Ecrire M à l'aide d'une formule mathématique
2 . démontrer que M est un sous-espace vectoriel de (K[X],+,.)
3 . démontrer que K[X]=M o K1[X]. ( c'est un rond avec une croix à l'intérieur mais je n'en connais pas la signification).
4 . démontrer que r est la projection sur K1[X] parallèlement à M.quelle est la projection sur M parallèlement à K1[X]?
Si vous pouviez m'aider, d'avance merci

[Job]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire mais je bloque sur cette partie :
On pose M l'ensemble des multiples de ${X^2}$ +1
1.Ecrire M à l'aide d'une formule mathématique
2 . démontrer que M est un sous-espace vectoriel de (K[X],+,.)
3 . démontrer que K[X]=M o K1[X]. ( c'est un rond avec une croix à l'intérieur mais je n'en connais pas la signification).
4 . démontrer que r est la projection sur K1[X] parallèlement à M.quelle est la projection sur M parallèlement à K1[X]?
Si vous pouviez m'aider, d'avance merci

Bonsoir
Quelques questions : $M$ est-il l'ensemble des $a(X^2+1),\ a\in K$ ou l'ensemble des $aX^2+b\cdot 1,\ (a,b)\in K^2$ ou l'ensemble des polynômes s'écrivant sous la forme $(X^2+1)P(X)$ où $P(X)$ est un polynôme de $K[X]$ ?
Qu'est ce que $K_1[X]$ ? (ensemble des polynômes de degré 1 ?)
Qu'est ce que $r$ ?

[noir d'encre]

Ah pardon,
D'après la partie précédente, on a:
On definit l'application r ainsi: pour tout p appartenant à K[X], on note r(P) le reste de la division euclidienne de P par ${X^2}$+1
après je n'ai pas terminé toutes les démonstrations alors je ne saurai vous dire

[Job]

1) $M=\{P(X)\in K[X]\ /\ P(X)=(X^2+1)Q(X),\ Q(X)\in K[X]\}$

2) Le polynôme nul appartient à $M$ avec $Q(X)$ polynôme nul.
Soit $P_1$ et $P_2$ appartenant à $M$ : $P_1(X)=(X^2+1)Q_1(X)$ et $P_2(X)=(X^2+1)Q_2(X)$
$P_1(X)+P_2(X)=(X^2+1)(Q_1(X)+Q_2(X)),\ (Q_1(X)+Q_2(X))\in K[X]$ donc $M$ est stable par addition.
Soit $\alpha \in K$. $\alpha P_1(X)=(X^2+1)(\alpha Q_1(X)),\ \alpha Q_1(X)\in K[X]$ donc $M$ est stable par multiplication par un scalaire.
$M$ est donc un sous-espace vectoriel de $(K[X],+,\cdot)$

3) $K_1[X]$ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 1.
* Le seul polynôme appartenant à$M$ et $K_1[X]$ est le polynôme nul donc l'intersection $M\cap K_1[X]$ est le polynôme nul.
* Soit un polynôme $P(X)\in K[X]$. On considère la division euclidienne de $P(X)$ par $X^2+1$
$P(X)=(X^2+1)Q(X)+R(X)$ et degré de $R(X)$<2. Donc $P(X)$ est la somme d'un polynôme de $M$ et d'un polynôme de $K_1[X]$
La somme est donc directe : $K[X]=M\oplus K_1[X]$.

4) Puisque la somme est directe, la projection parallèlement à $M$ de $P(X)$ sur $K_1[X]$ est $R(X)$ .
De même la projection sur $M$ parallèlement à $K_1[X]$ est $(X^2+1)Q(X)$.
Si vous n'avez pas vu cette propriété des sommes directes, vous pouvez démontrer dans les 2 cas que $(p\circ p)(P(X)) =p(P(X))$

[noir d'encre]

Bonsoir,
d'accord merci beaucoup, mais pourquoi l'ensemble d'arrivée est K1[X]?

[Job]

Bonsoir,
d'accord merci beaucoup, mais pourquoi l'ensemble d'arrivée est K1[X]?

Bonsoir

Le texte demandait la projection sur $K_1[X]$ parallèlement à $M$ donc l'ensemble d'arrivée est $K_1[X]$. De même qu'en géométrie, lorsqu'on fait une projection sur un plan parallèlement à une droite, l'ensemble d'arrivée est le plan.

[noir d'encre]

D'accord merci je n'arrive pas à calculer non plus Im(r) avec les degrés du polynôme

[Job]

Dans une division euclidienne dans les polynômes, le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur. Le diviseur $X^2+1$ est de degré 2 donc le degré du reste est 0 ou 1. Par conséquent $Im(r)$ est l'ensemble des polynômes de degré 1 ou 0 c'est-à-dire $P_1[X]$.

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup je trouve également que r n'est pas injective, j'ai r o r= P-2(${X^2} $+1)Q est-ce cela?

[Job]

Effectivement r n'est pas injective. Il est facile de construire un contre-exemple :
$P_1(X)=(X^2+1)(X)+X+1=X^3+2X+1$ ; $P_2(X)=(X^2+1)(X^2)+X+1=X^4+X^2+X+1$
$r(P_1(x))=r(P_2(X))=X+1$