Bonjour à tous!
On me demande de vérifier que la primitive de f(x)= exp(-x/2)cos(x) est 1/5(exp(-1/2))[-cos(x)+2sin(x)]...
J'utilise la formule d'Euler qui donne f(x)=exp(-x/2)*(1/2)(e^ix+e^-ix) et je comptais prendre la partie réelle ....
Mais je tombe sur des calculs inextricables...Donc, soit je me suis trompé, soit je suis sur une mauvaise piste?
Merci de votre aide!
[Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Bonjour
Puisqu'on demande de vérifier on peut dériver la primitive proposée $F(x)=\frac{1}{5} \exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}[-\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)+\exp(-\frac{x}{2})(\sin x +2\cos x)]$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{1}{2}\cos x -\sin x+\sin x+2\cos x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{5}{2}\cos x)=\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})\cos x$
Par rapport à $f(x)$, j'ai un coefficient $\frac{1}{2}$ en plus. Y-a-t-il une erreur de texte ?
Puisqu'on demande de vérifier on peut dériver la primitive proposée $F(x)=\frac{1}{5} \exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}[-\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)+\exp(-\frac{x}{2})(\sin x +2\cos x)]$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{1}{2}\cos x -\sin x+\sin x+2\cos x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{5}{2}\cos x)=\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})\cos x$
Par rapport à $f(x)$, j'ai un coefficient $\frac{1}{2}$ en plus. Y-a-t-il une erreur de texte ?
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Oui, désolé, j'ai oublié de coef 1/2 dans le texte...
C'est beaucoup plus simple ainsi!
Merci...
C'est beaucoup plus simple ainsi!
Merci...
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Si je devais vraiment calculer la primitive, est-ce que ma méthode était bonne, ou y a t-il une technique plus simple?
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Oui la méthode peut marcher et on obtient une primitive réelle puisque la fonction est réelle. Il y a aussi une méthode avec 2 intégrations par parties. Je n'ai pas assez de temps aujourd'hui mais je rédigerai les 2 méthodes demain.
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
OK, c'est sympa!
Mais en cherchant, je pense avoir trouver une méthode plus simple: f(x)=Re[exp(-x/2)*(cos(x)+i.sin(x))]=Re[exp(-x/2)*exp(ix)]
=Re[exp(-1/2+i)x]. Ainsi je ne traîne pas les e^ix et e^-ix de la formule d'Euler, et les calculs sont faisables...
La primitive de exp(-1/2+i)x est facile; du coup j'aboutis au résultat avec des calculs relativement simples...
Mais en cherchant, je pense avoir trouver une méthode plus simple: f(x)=Re[exp(-x/2)*(cos(x)+i.sin(x))]=Re[exp(-x/2)*exp(ix)]
=Re[exp(-1/2+i)x]. Ainsi je ne traîne pas les e^ix et e^-ix de la formule d'Euler, et les calculs sont faisables...
La primitive de exp(-1/2+i)x est facile; du coup j'aboutis au résultat avec des calculs relativement simples...
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Une méthode sans passer par les complexes avec intégrations par parties.
$I=\frac{1}{2} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos x dx$
Une première intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\cos x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=\sin x\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}} \sin x dx]$
Une seconde intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\sin x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=-\cos xx\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}(-e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}}\cos x dx )]$
$I=\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}\sin x - \frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{4}I $
$\frac{5}{4} I=e^{-\frac{x}{2}} ( \frac{1}{2} \sin x -\frac{1}{4} \cos x)$
$I=\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{2}} (2\sin x -\cos x)$
Cette méthode marche bien avec le produit d'une fonction exponentielle par une fonction trigo. Il faut prendre garde à conserver le même $u(x)$ dans les 2 intégrations (soit la fonction exponentielle soit la fonction trigo) sinon on tourne en rond.
$I=\frac{1}{2} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos x dx$
Une première intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\cos x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=\sin x\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}} \sin x dx]$
Une seconde intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\sin x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=-\cos xx\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}(-e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}}\cos x dx )]$
$I=\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}\sin x - \frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{4}I $
$\frac{5}{4} I=e^{-\frac{x}{2}} ( \frac{1}{2} \sin x -\frac{1}{4} \cos x)$
$I=\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{2}} (2\sin x -\cos x)$
Cette méthode marche bien avec le produit d'une fonction exponentielle par une fonction trigo. Il faut prendre garde à conserver le même $u(x)$ dans les 2 intégrations (soit la fonction exponentielle soit la fonction trigo) sinon on tourne en rond.
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
En effet, cette double IPP n'est pas très compliquée! Cette méthode n'est pas plus difficile qu'en passant par les complexes.
Merci pour ce calcul détaillé!
A bientôt...
Merci pour ce calcul détaillé!
A bientôt...