[Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
[Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Bonjour à tous!
On me demande de vérifier que la primitive de f(x)= exp(-x/2)cos(x) est 1/5(exp(-1/2))[-cos(x)+2sin(x)]...
J'utilise la formule d'Euler qui donne f(x)=exp(-x/2)*(1/2)(e^ix+e^-ix) et je comptais prendre la partie réelle ....
Mais je tombe sur des calculs inextricables...Donc, soit je me suis trompé, soit je suis sur une mauvaise piste?
Merci de votre aide!
On me demande de vérifier que la primitive de f(x)= exp(-x/2)cos(x) est 1/5(exp(-1/2))[-cos(x)+2sin(x)]...
J'utilise la formule d'Euler qui donne f(x)=exp(-x/2)*(1/2)(e^ix+e^-ix) et je comptais prendre la partie réelle ....
Mais je tombe sur des calculs inextricables...Donc, soit je me suis trompé, soit je suis sur une mauvaise piste?
Merci de votre aide!
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Bonjour
Puisqu'on demande de vérifier on peut dériver la primitive proposée $F(x)=\frac{1}{5} \exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}[-\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)+\exp(-\frac{x}{2})(\sin x +2\cos x)]$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{1}{2}\cos x -\sin x+\sin x+2\cos x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{5}{2}\cos x)=\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})\cos x$
Par rapport à $f(x)$, j'ai un coefficient $\frac{1}{2}$ en plus. Y-a-t-il une erreur de texte ?
Puisqu'on demande de vérifier on peut dériver la primitive proposée $F(x)=\frac{1}{5} \exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}[-\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})(-\cos x +2\sin x)+\exp(-\frac{x}{2})(\sin x +2\cos x)]$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{1}{2}\cos x -\sin x+\sin x+2\cos x)$
$F'(x)=\frac{1}{5}\exp(-\frac{x}{2})(\frac{5}{2}\cos x)=\frac{1}{2}\exp(-\frac{x}{2})\cos x$
Par rapport à $f(x)$, j'ai un coefficient $\frac{1}{2}$ en plus. Y-a-t-il une erreur de texte ?
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Oui, désolé, j'ai oublié de coef 1/2 dans le texte...
C'est beaucoup plus simple ainsi!
Merci...
C'est beaucoup plus simple ainsi!
Merci...
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Si je devais vraiment calculer la primitive, est-ce que ma méthode était bonne, ou y a t-il une technique plus simple?
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Oui la méthode peut marcher et on obtient une primitive réelle puisque la fonction est réelle. Il y a aussi une méthode avec 2 intégrations par parties. Je n'ai pas assez de temps aujourd'hui mais je rédigerai les 2 méthodes demain.
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
OK, c'est sympa!
Mais en cherchant, je pense avoir trouver une méthode plus simple: f(x)=Re[exp(-x/2)*(cos(x)+i.sin(x))]=Re[exp(-x/2)*exp(ix)]
=Re[exp(-1/2+i)x]. Ainsi je ne traîne pas les e^ix et e^-ix de la formule d'Euler, et les calculs sont faisables...
La primitive de exp(-1/2+i)x est facile; du coup j'aboutis au résultat avec des calculs relativement simples...
Mais en cherchant, je pense avoir trouver une méthode plus simple: f(x)=Re[exp(-x/2)*(cos(x)+i.sin(x))]=Re[exp(-x/2)*exp(ix)]
=Re[exp(-1/2+i)x]. Ainsi je ne traîne pas les e^ix et e^-ix de la formule d'Euler, et les calculs sont faisables...
La primitive de exp(-1/2+i)x est facile; du coup j'aboutis au résultat avec des calculs relativement simples...
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
Une méthode sans passer par les complexes avec intégrations par parties.
$I=\frac{1}{2} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos x dx$
Une première intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\cos x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=\sin x\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}} \sin x dx]$
Une seconde intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\sin x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=-\cos xx\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}(-e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}}\cos x dx )]$
$I=\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}\sin x - \frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{4}I $
$\frac{5}{4} I=e^{-\frac{x}{2}} ( \frac{1}{2} \sin x -\frac{1}{4} \cos x)$
$I=\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{2}} (2\sin x -\cos x)$
Cette méthode marche bien avec le produit d'une fonction exponentielle par une fonction trigo. Il faut prendre garde à conserver le même $u(x)$ dans les 2 intégrations (soit la fonction exponentielle soit la fonction trigo) sinon on tourne en rond.
$I=\frac{1}{2} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos x dx$
Une première intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\cos x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=\sin x\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}} \sin x dx]$
Une seconde intégration par parties avec $\left\{\begin{array}{rcl} u(x)=e^{-\frac{x}{2}} \\ v'(x)=\sin x\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}u'(x)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \\ v(x)=-\cos xx\end{array}\right.$
$I=\frac{1}{2}[e^{-\frac{x}{2}}\sin x +\frac{1}{2}(-e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{2}\int e^{-\frac{x}{2}}\cos x dx )]$
$I=\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}\sin x - \frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \cos x -\frac{1}{4}I $
$\frac{5}{4} I=e^{-\frac{x}{2}} ( \frac{1}{2} \sin x -\frac{1}{4} \cos x)$
$I=\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{2}} (2\sin x -\cos x)$
Cette méthode marche bien avec le produit d'une fonction exponentielle par une fonction trigo. Il faut prendre garde à conserver le même $u(x)$ dans les 2 intégrations (soit la fonction exponentielle soit la fonction trigo) sinon on tourne en rond.
Re: [Agro-véto] primitive de exp(-x/2)cos(x)
En effet, cette double IPP n'est pas très compliquée! Cette méthode n'est pas plus difficile qu'en passant par les complexes.
Merci pour ce calcul détaillé!
A bientôt...
Merci pour ce calcul détaillé!
A bientôt...