Exos fonctions (suite)

[Thamirah]

Bonjour,
J’aimerais votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.
Merci

5. On considère maintenant f: [a,b] → R une fonction de classe C^2 telle que f(a) = f(b) = 0 et on note M = sup{|f" (t)| : t€ [a, b]}.
(a) Justifier l'existence de M.
(b) On pose
g(x) = f(x) - M*[(x - a)(b - x)]/2
et h(x)= f(x) + M*[(x - a)(b- x)]/2
Justifier que g est convexe sur [a, b] et que h est concave sur [a, b].
(c) En déduire le signe de g et le signe de h sur [a, b].
(d) En déduire que, pour tout x € [a, b], on a
|f(x)|<=M*[(x-a)(b-x)]/2.

[Job]

Bonjour Thamirah

a) $f$ est continue sur $[a,b]$ intervalle fermé donc elle est continue et atteint ses bornes d'où l'existence de $M$.

b) $g'(x)=f'(x)+M[\frac{-2x+a+b}{2}$
$g"(x)=f"(x)+M$

$|f"(x)|\leq M$ soit $-M\leq f"(x) \leq M$
Par conséquent $g"(x)=f"(x)+M\geq 0$ donc $g$ est convexe.

On démontre de la même manière que $h$ est concave.

c) $g(a)=g(b)=0$.
Puisque $g$ est convexe la courbe représentant $g$ est sous la corde reliant les points d'abscisses $a$ et $b$ donc $g$ est négative sur $[a,b]$
Même raisonnement pour justifier que $h$ est positive sur $[a,b]$.

d) $g$ est négative donc $f(x)\leq M" \frac{(x-a)(b-x)}{2}$
$h$ est positive donc $f(x)\geq -M" \frac{(x-a)(b-x)}{2}$
Des 2 inégalités on déduit l'inégalité demandée.

[GuyAr]

Bonjour,

Tout à fait, d'accord avec toi sur ces points. Ça semble solide. C'est assez impressionnant de voir comment cela s'intègre dans divers secteurs.