Exos fonctions

[Thamirah]

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.

Dans tout l'exercice, I et J désignent des intervalles de R.
1. Soit g: I → R une fonction convexe croissante, et h: J → I une fonction convexe.
Démontrer que g o h est convexe.
2. Sans démonstration, énoncer une propriété du même type qui permettrait de conclure que go h est concave.
3. Soit f: I →]0, +∞[ une fonction telle que In(f) est convexe. Démontrer que fest convexe. La réciproque est-elle vraie?
4. Soit a, b, c des réels strictement positifs. En utilisant la concavité de In, démontrer que
racine cubique de (abc) <= a+b+c/3.

[Job]

Bonjour Thamirah

1) $\forall (x,y)\in I^2,\ \forall t\in [0,1],\ h[tx+(-t)y]\leq th(x)+(1-t)h(y)$ car $h$ est convexe.

Comme $g$ est croissante, $g[h(tx+(1-t)y)]\leq g[th(x)+(1-t)h(y)]$

Comme $g$ est convexe, $g[th(x)+(1-t)h(y)]\leq tg(h(x))+ (1-t)g(h(y))$

Donc $g(h(x+(1-t)y))\leq tg(h(x))+ (1-t)g(h(y))$

$g\circ h$ est donc convexe.

3) Composer avec la fonction exponentielle qui est convexe et croissante et appliquer le résultat de la question 1.