Bonjour à tous!
On me donne la fonction f(x)=exp(-x²)*(somme de 0 à x de exp(t²)dt).
J'ai trouvé f'(x)=1-2xf(x). On me demande de calculer la dérivée n-ième de f(0) ??? Je ne connais pas la technique? Peut-être une récurrence? Merci pour votre aide
[Agro-Véto]Dérivées n-ième
Re: [Agro-Véto]Dérivées n-ième
Bonjour
Partant de la relation $f'(x)=1-2xf(x)$, on dérive $(n-1)$ fois.
$f^{(n)}(x)=(-2xf(x))^{(n-1)}$.
On utilise alors la formule de Leibniz pour calculer la dérivée $(n-1)$ième du produit
$f^{(n)}(x)=(-2x)f^{(n-1)} (x) +(n-1)(-2)f^{(n-2)}(x)$.
On a alors $f^{(n)}(0)=-2(n-1)f^{(n-2)}(0)$
$f(0)=0$ donc toutes les dérivées en 0 d'ordre pair sont nulles.
$f'(0)=1$. Avec $n=2p+1$ on a $f^{(2p+1)}(0)=-2(2p)f^{(2p-1)}(0)=(-4)pf^{(2p-1)}(0)$
Pour $p=1$, $f^{(3)}(0)=-4$
Pour $p=2$, $f^{(5)}(0)=-4(2)(-4)=(-4)^2\times 2!$
Pour $p=3$, $f^{(3)}(0)=(-4)\times 3\times (-4)^2\times 2!=(-4)^3\times 3! $
On démontre donc, par récurrence, que $f^{(2p+1)}(0)=(-4)^p\times p!$
Partant de la relation $f'(x)=1-2xf(x)$, on dérive $(n-1)$ fois.
$f^{(n)}(x)=(-2xf(x))^{(n-1)}$.
On utilise alors la formule de Leibniz pour calculer la dérivée $(n-1)$ième du produit
$f^{(n)}(x)=(-2x)f^{(n-1)} (x) +(n-1)(-2)f^{(n-2)}(x)$.
On a alors $f^{(n)}(0)=-2(n-1)f^{(n-2)}(0)$
$f(0)=0$ donc toutes les dérivées en 0 d'ordre pair sont nulles.
$f'(0)=1$. Avec $n=2p+1$ on a $f^{(2p+1)}(0)=-2(2p)f^{(2p-1)}(0)=(-4)pf^{(2p-1)}(0)$
Pour $p=1$, $f^{(3)}(0)=-4$
Pour $p=2$, $f^{(5)}(0)=-4(2)(-4)=(-4)^2\times 2!$
Pour $p=3$, $f^{(3)}(0)=(-4)\times 3\times (-4)^2\times 2!=(-4)^3\times 3! $
On démontre donc, par récurrence, que $f^{(2p+1)}(0)=(-4)^p\times p!$
Re: [Agro-Véto]Dérivées n-ième
OK! Je ne connaissais pas la formule de Leibniz...
Merci pour ton aide. A bientôt
Merci pour ton aide. A bientôt