Bonjour,
Pouvez-vous m'aider sur ce sujet :[img]analyse2010int.gif[/img]
11) Je ne vois pas comment procéder ici.
12) a) On a au voisinage de l'infini $f(\frac{t}{\sqrt{n}}) \sim f(t) $ . En choisissant $n_0 = s$, l'intégrale : $\int_0^{\infty} f^n(\frac{t}{\sqrt{n}}) dt$ converge alors.
12) b) On a $|f^{n}(\frac{t}{\sqrt{n}}) - e^{\frac{-t^2}{2}}| \leq |f^{n}(\frac{t}{\sqrt{n}})|$. Donc l'intégrale $\int_0^{\infty}f^{n}(\frac{t}{\sqrt{n}}) - e^{\frac{-t^2}{2}} dt$ converge absolument par le critère de comparaison.
13) Ici je ne vois pas comment aboutir à la majoration demandée. Une aide? Merci.
Intégrales impropres
Intégrales impropres
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Re: Intégrales impropres
11. Par hypothèse on a : $\forall x\in R$, $|f(x)|\leq1$, ce qui justifie l'existence de $M=\sup\bigl\{|f(x)|\bigm| x\geq a\bigr\}$. Il reste à justifier que $M$ est atteint.
Si $M=0$, la fonction est nulle sur $[a,+\infty[$ et la conclusion s'en suit.
Si $M>0$, l'hypothèse $\lim_{+\infty}f(x)=0$ permet d'affirmer l'existence d'un rang $b\geq a$ à partir duquel $|f(x)|\leq M/2$. Ceci montre que $M=\sup\bigl\{|f(x)|\bigm| x\in[a,b]\bigr\}$. Or toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes, donc il existe $c\in[a,b]$ tel que $|f(c)|=M$.
12.a Il est faux de dire que $f(\frac t{\sqrt n})\sim f(t)$ au voisinage de $+\infty$ ; en revanche, sachant qu'un changement de variable ne modifie pas la nature d'une intégrale, on peut poser $u=\frac t{\sqrt n}$ et affirmer que $I_n$ a même nature que l'intégrale $\sqrt n\int_0^{+\infty} f^n(u)d u$.
Par ailleurs, $|f(u)|\leq 1$ donc pour tout $n\geq s$, $|f(u)|^n≤|f(u)|^s$. Sachant que $\int_0^{+\infty}|f(u)|^sd s$ converge, on en déduit que pour $n\geq s$ l'intégrale $I_n$ converge absolument.
12.b Votre majoration est fausse, on peut seulement majorer $|f^n(\frac t{\sqrt n})-e^{-t^2/2}|$ par $|f^n(\frac t{\sqrt n})|+e^{-t^2/2}$, mais puisque l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-t^2/2}d t$ converge, le critère de comparaison s'applique.
13.a Par hypothèse, au voisinage de 0 on a : $f(u)=1-\frac12u^2+o(u^2)$ (Taylor-Young) alors que $e^{-u^2/4}=1-\frac14u^2+o(u^2)$. On a donc $e^{-u^2/4}-f(u)\sim\frac14u^2$. Il existe donc $b_1>0$ tel que sur $[0,b_1]$, $e^{-u^2/4}-f(u)>0$. Par ailleurs $\lim_0f(u)=1$ donc il existe $b_2>0$ tel que sur $[0,b_2]$, $f(u)>0$. En posant $b=\min(b_1,b_2)$ on obtient $\forall u\in[0,b]$, $0≤f(u)≤e^{-u^2/4}$.
Si $M=0$, la fonction est nulle sur $[a,+\infty[$ et la conclusion s'en suit.
Si $M>0$, l'hypothèse $\lim_{+\infty}f(x)=0$ permet d'affirmer l'existence d'un rang $b\geq a$ à partir duquel $|f(x)|\leq M/2$. Ceci montre que $M=\sup\bigl\{|f(x)|\bigm| x\in[a,b]\bigr\}$. Or toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes, donc il existe $c\in[a,b]$ tel que $|f(c)|=M$.
12.a Il est faux de dire que $f(\frac t{\sqrt n})\sim f(t)$ au voisinage de $+\infty$ ; en revanche, sachant qu'un changement de variable ne modifie pas la nature d'une intégrale, on peut poser $u=\frac t{\sqrt n}$ et affirmer que $I_n$ a même nature que l'intégrale $\sqrt n\int_0^{+\infty} f^n(u)d u$.
Par ailleurs, $|f(u)|\leq 1$ donc pour tout $n\geq s$, $|f(u)|^n≤|f(u)|^s$. Sachant que $\int_0^{+\infty}|f(u)|^sd s$ converge, on en déduit que pour $n\geq s$ l'intégrale $I_n$ converge absolument.
12.b Votre majoration est fausse, on peut seulement majorer $|f^n(\frac t{\sqrt n})-e^{-t^2/2}|$ par $|f^n(\frac t{\sqrt n})|+e^{-t^2/2}$, mais puisque l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-t^2/2}d t$ converge, le critère de comparaison s'applique.
13.a Par hypothèse, au voisinage de 0 on a : $f(u)=1-\frac12u^2+o(u^2)$ (Taylor-Young) alors que $e^{-u^2/4}=1-\frac14u^2+o(u^2)$. On a donc $e^{-u^2/4}-f(u)\sim\frac14u^2$. Il existe donc $b_1>0$ tel que sur $[0,b_1]$, $e^{-u^2/4}-f(u)>0$. Par ailleurs $\lim_0f(u)=1$ donc il existe $b_2>0$ tel que sur $[0,b_2]$, $f(u)>0$. En posant $b=\min(b_1,b_2)$ on obtient $\forall u\in[0,b]$, $0≤f(u)≤e^{-u^2/4}$.
Re: Intégrales impropres
Merci JPB.