Salut Job ,
j'espère que tu as eu quelques vacances de carnaval?
Au passage j'envoi ce message car je ne suis pas sûr de ma réponse pour la question 2 de cet exo, le 3 et le 4 bof...
https://ibb.co/0J7dQ4Z
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/08/ck04.jpeg
Peux-tu m'aider stp?
Nombres complexes et polynômes
Re: Nombres complexes et polynômes
Bonjour Marc
Ce que tu as fait est correct. Je prends la suite.
On peut donc avoir $z^4=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On pose $z=re^{i\theta}$ On a alors $z^4=r^4e^{4i\theta}$
$r^4e^{4i\theta}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}r^4&=&1\\4\theta &=&\frac{2\pi}{3}+k2\pi (k\in {\mathbb Z})\end{array}\right.$
$r$ étant un réel positif, on a $r=1$
$\theta = \frac{2\pi}{12}+\frac{k2\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} (k\in {\mathbb Z})$
On obtient donc 4 solutions : $e^{i\frac{\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ; $e^{i\frac{7\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On fait le même travail avec $z^4=e^{i\frac{4\pi}{3}}$ (ou $e^{i\frac{-2\pi}{3}}$)
Le polynôme $P$ admet donc 8 racines dans l'ensemble des complexes et on vérifie que dans l'ensemble des complexes, un polynôme de degré $n$ admet $n$ racines complexes distinctes ou non ( par exemple, une racine double compte pour 2 racines)
Ce que tu as fait est correct. Je prends la suite.
On peut donc avoir $z^4=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On pose $z=re^{i\theta}$ On a alors $z^4=r^4e^{4i\theta}$
$r^4e^{4i\theta}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}r^4&=&1\\4\theta &=&\frac{2\pi}{3}+k2\pi (k\in {\mathbb Z})\end{array}\right.$
$r$ étant un réel positif, on a $r=1$
$\theta = \frac{2\pi}{12}+\frac{k2\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} (k\in {\mathbb Z})$
On obtient donc 4 solutions : $e^{i\frac{\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ; $e^{i\frac{7\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On fait le même travail avec $z^4=e^{i\frac{4\pi}{3}}$ (ou $e^{i\frac{-2\pi}{3}}$)
Le polynôme $P$ admet donc 8 racines dans l'ensemble des complexes et on vérifie que dans l'ensemble des complexes, un polynôme de degré $n$ admet $n$ racines complexes distinctes ou non ( par exemple, une racine double compte pour 2 racines)
Re: Nombres complexes et polynômes
Bonjour Marc
Ce que tu as fait est correct. Je prends la suite.
On peut donc avoir $z^4=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On pose $z=re^{i\theta}$ On a alors $z^4=r^4e^{4i\theta}$
$r^4e^{4i\theta}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}r^4&=&1\\4\theta &=&\frac{2\pi}{3}+k2\pi (k\in {\mathbb Z})\end{array}\right.$
$r$ étant un réel positif, on a $r=1$
$\theta = \frac{2\pi}{12}+\frac{k2\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} (k\in {\mathbb Z})$
On obtient donc 4 solutions : $e^{i\frac{\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ; $e^{i\frac{7\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On fait le même travail avec $z^4=e^{i\frac{4\pi}{3}}$ (ou $e^{i\frac{-2\pi}{3}}$)
Le polynôme $P$ admet donc 8 racines dans l'ensemble des complexes et on vérifie que dans l'ensemble des complexes, un polynôme de degré $n$ admet $n$ racines complexes distinctes ou non ( par exemple, une racine double compte pour 2 racines)
Ce que tu as fait est correct. Je prends la suite.
On peut donc avoir $z^4=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On pose $z=re^{i\theta}$ On a alors $z^4=r^4e^{4i\theta}$
$r^4e^{4i\theta}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}r^4&=&1\\4\theta &=&\frac{2\pi}{3}+k2\pi (k\in {\mathbb Z})\end{array}\right.$
$r$ étant un réel positif, on a $r=1$
$\theta = \frac{2\pi}{12}+\frac{k2\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} (k\in {\mathbb Z})$
On obtient donc 4 solutions : $e^{i\frac{\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ; $e^{i\frac{7\pi}{6}}$ ; $e^{i\frac{2\pi}{3}}$
On fait le même travail avec $z^4=e^{i\frac{4\pi}{3}}$ (ou $e^{i\frac{-2\pi}{3}}$)
Le polynôme $P$ admet donc 8 racines dans l'ensemble des complexes et on vérifie que dans l'ensemble des complexes, un polynôme de degré $n$ admet $n$ racines complexes distinctes ou non ( par exemple, une racine double compte pour 2 racines)