Bonjour, ( Exo type CAPES)
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.
Je vous remercie
On définit la suite (Un)≥0 par u(0) = 2 et pour tout n ≥ 0, U(n+1) = Un/2 + 1/Un.
1. Montrer que le suite (Un) est bien définie, décroissante et minorée. En déduire qu'elle converge vers sqrt(2).
2. Montrer que pour tout n≥0, abs(U(n+1)-sqrt(2)) <= (Un-sqrt(2)^2/(2*sqrt(2)). En déduire une estimation de abs(Un-sqrt(2)).
3. On pose f (x) = x^(2) - 2 et on considère un point (x(0), y(0)) de la courbe représentative de f.
Calculer l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe représentative de f au point (x(0), y(0)) avec l'axe des abscisses. En déduire une construction géométrique de la suite (Un).
Exo suites
Re: Exo suites
Bonjour Thamirah
1) Par une récurrence immédiate, on voit que $\forall n\in {\mathbb N}, u_n>0$
Aucun terme de la suite ne pouvant être nul, $\frac{1}{u_n}$ est défini donc la suite est bien définie.
Soit $g$ la fonction définie sur $]0 , +\infty[$ par $g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$
$g'(x)=\frac{1}{2} -\frac{1}{x^2} =\frac{x^2-2}{2x^2}$
$g'(\sqrt 2) =0$ ; $g'(x)<0$ sur $]0, \sqrt 2[$ ; $g'(x)>0$ sur $]\sqrt 2 , +\infty[$
$g$ admet donc un minimum pour $x=\sqrt 2$ et $g(\sqrt 2) =\sqrt 2$
$u_{n+1}=g(u_n)$
Par récurrence : $u_0>\sqrt 2$ et si $u_n\geq\sqrt 2$ alors d'après l'étude de la fonction $g$, $u_{n+1}=g(u_n)\geq \sqrt 2$
La suite est donc minorée par $\sqrt 2$
$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+2}{2u_n}-u_n =\frac{2-u_n^2}{2u_n}$
$u_n^2\geq 2$ donc la suite est décroissante.
La suite est décroissante minorée donc elle converge vers une solution de l'équation $g(x)=x$ donc vers $\sqrt 2$
2) $|u_{n+1}-\sqrt 2|=u_{n+1}-\sqrt 2=\frac{u_n^2+2-2\sqrt 2u_n}{2u_n}=\frac{(u_n-\sqrt 2)^2}{2u_n}$
$u_n\geq \sqrt 2$ donc $\frac{(u_n-\sqrt 2)^2}{2u_n}\leq \frac{(u_n-\sqrt 2)^2}{2\sqrt 2}$
1) Par une récurrence immédiate, on voit que $\forall n\in {\mathbb N}, u_n>0$
Aucun terme de la suite ne pouvant être nul, $\frac{1}{u_n}$ est défini donc la suite est bien définie.
Soit $g$ la fonction définie sur $]0 , +\infty[$ par $g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$
$g'(x)=\frac{1}{2} -\frac{1}{x^2} =\frac{x^2-2}{2x^2}$
$g'(\sqrt 2) =0$ ; $g'(x)<0$ sur $]0, \sqrt 2[$ ; $g'(x)>0$ sur $]\sqrt 2 , +\infty[$
$g$ admet donc un minimum pour $x=\sqrt 2$ et $g(\sqrt 2) =\sqrt 2$
$u_{n+1}=g(u_n)$
Par récurrence : $u_0>\sqrt 2$ et si $u_n\geq\sqrt 2$ alors d'après l'étude de la fonction $g$, $u_{n+1}=g(u_n)\geq \sqrt 2$
La suite est donc minorée par $\sqrt 2$
$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+2}{2u_n}-u_n =\frac{2-u_n^2}{2u_n}$
$u_n^2\geq 2$ donc la suite est décroissante.
La suite est décroissante minorée donc elle converge vers une solution de l'équation $g(x)=x$ donc vers $\sqrt 2$
2) $|u_{n+1}-\sqrt 2|=u_{n+1}-\sqrt 2=\frac{u_n^2+2-2\sqrt 2u_n}{2u_n}=\frac{(u_n-\sqrt 2)^2}{2u_n}$
$u_n\geq \sqrt 2$ donc $\frac{(u_n-\sqrt 2)^2}{2u_n}\leq \frac{(u_n-\sqrt 2)^2}{2\sqrt 2}$
Re: Exo suites
Question 3
La tangente a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$ soit :
$y=2x_0(x-x_0) +x_0^2 -2$ soit $y=2x_0x-x_0^2-2$
Le point d'intersection avec l'axe des abscisses a pour ordonnée 0.
Pour $y=0$ on obtient $x=\frac{x_0^2+2}{2x_0}$
En construisant la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 (soit $u_0$) elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $u_1$.
Puis on remonte sur la courbe au point d'abscisse $u_1$ , on construit la tangente qui coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $u_2$
et ainsi de suite.
La tangente a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$ soit :
$y=2x_0(x-x_0) +x_0^2 -2$ soit $y=2x_0x-x_0^2-2$
Le point d'intersection avec l'axe des abscisses a pour ordonnée 0.
Pour $y=0$ on obtient $x=\frac{x_0^2+2}{2x_0}$
En construisant la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 (soit $u_0$) elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $u_1$.
Puis on remonte sur la courbe au point d'abscisse $u_1$ , on construit la tangente qui coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $u_2$
et ainsi de suite.