nombres complexes

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Jon83
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nombres complexes

Message par Jon83 » 29 décembre 2022, 12:53

Bonjour!
J'ai z0=-2 ---> z0=2e(i.pi) , z1=2+2i ---> 2sqrt(2)e^(i.pi/4) et z2=2-2i ---> 2sqrt(2)e^(-i.pi/2)
Je dois calculer (z0*z1^2)/(z2^3).
J'ai trouvé (1/sqrt(2))e^(9i.pi/4) soit (1/sqrt(2))e^(i.pi/4) ????
Mais je ne comprends pas pourquoi Wolfram me donne comme résultat (-i/sqrt(2))e^(3i.pi/4) ??? D'où sort ce -i ?

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Job
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Re: nombres complexes

Message par Job » 29 décembre 2022, 15:04

Bonjour
Jon83 a écrit :
29 décembre 2022, 12:53
Bonjour!
J'ai z0=-2 ---> z0=2e(i.pi) , z1=2+2i ---> 2sqrt(2)e^(i.pi/4) et z2=2-2i ---> 2sqrt(2)e^(-i.pi/2)
Je dois calculer (z0*z1^2)/(z2^3).
J'ai trouvé (1/sqrt(2))e^(9i.pi/4) soit (1/sqrt(2))e^(i.pi/4) ????
Mais je ne comprends pas pourquoi Wolfram me donne comme résultat (-i/sqrt(2))e^(3i.pi/4) ??? D'où sort ce -i ?
Tout d'abord une erreur dans l'écriture de $z_2$
$z_2=2-2i=2\sqrt 2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$ (et non $\frac{\pi}{2}$)

Il faut remplacer $i$ par $e^{i(-\frac{\pi}{2})}$

$\frac{-i}{\sqrt 2}e^{i\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt 2} e^{-i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt 2} e^{i\frac{\pi}{4}}$
Le résultat est donc bien le même.

Jon83
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Re: nombres complexes

Message par Jon83 » 29 décembre 2022, 16:47

Effectivement ! Merci pour ces précisions
Cordialement J83

Mazer
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Re: nombres complexes

Message par Mazer » 06 janvier 2023, 16:31

Il est important de se souvenir que lorsque vous effectuez des calculs avec des nombres complexes, il est important de respecter l'ordre des opérations.

Voici comment vous pouvez calculer (z0*z1^2)/(z2^3) :

Calculer z1^2 et z2^3:
z1^2 = (2+2i)^2 = (-4+4i) = 4e^(i.pi/2)
z2^3 = (2-2i)^3 = (-8-8i) = 8e^(-i.pi)

Calculer z0z1^2:
z0z1^2 = (-2)*4e^(i.pi/2) = (-8)e^(i.pi/2) = 8e^(i.pi/2+pi) = 8e^(3pi/2+pi) = 8e^(5pi/2)

Calculer (z0z1^2)/(z2^3):
(z0z1^2)/(z2^3) = (8e^(5pi/2))/(8e^(-i.pi)) = e^(5pi/2)e^(-i.pi) = e^(5pi/2-pi) = e^(4pi/2) = e^(2pi) = 1

Donc, le résultat final est 1. Le résultat que vous avez trouvé était incorrect car vous n'avez pas respecté l'ordre des opérations. Le résultat que vous avez trouvé était (-i/sqrt(2))e^(3i.pi/4) car vous avez omis de multiplier par e^(5pi/2) avant de diviser par e^(-i.pi).

Il est important de bien comprendre comment effectuer des calculs avec des nombres complexes afin d'éviter ce genre d'erreur.

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